Непрерывность функции двух переменныхФункция (или f(M)) называется непрерывной в точке , если она: а) определена в этой точке и некоторой её окрестности; б) имеет предел в) этот предел равен значению функции z в точке М0, т. е. или Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим . Величины называются приращениями аргументов х и у, а – полным приращением функции в точке . Функция называется непрерывной в точке если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой очке стремится к нулю, когда приращения её аргументов х и у стремятся к нулю. Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели место для функций одной переменной. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности. Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки. Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области. Точка N0 называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности её лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается . Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной – -окрестность точки . Теорема Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число R > 0, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство б) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее M значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенной между m и M (дается без доказательства).
|