Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция z = f(x,y), имеет в точке М₀(х₀,у₀) частные производные f ^/_x (х₀,у₀) и f ^/_у (х₀,у₀).

Полным приращением функции z = f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) называется разность

Пусть приращение функции z =f(x,y) можно представить в виде

где, то функция называется дифференцируемой в точке M ₀ (х₀,у₀).

Полным дифференциалом функции z=f(x,y) называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений её аргументов . Полный дифференциал функции (если он существует) равен сумме всех ее частных дифференциалов и вычисляется по формуле:

При достаточно малых (по абсолютному значению) приращениях аргументов, полное приращение функции можно с как угодно малой относительной погрешностью заменить ее полным дифференциалом. Дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у совпадают с их приращениями соответственно . Таким образом,

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако можно записать

а это означает непрерывность функции в точке (х₀,у₀). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, о функции, дифференцируемой в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

Так как дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

 

 

6.Дифференцирование сложной функции.

Пусть задана функция . Пусть далее аргумент этой функции является не независимой переменной ,а значением другой функции . Тогда функция называется сложной функцией.

Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то функция имеет производную в точке и имеет место следующая формула: .

Таблица производных простейших элементарных функций

1. (u ^a(x))' = a u ^a-1(x) u '(x), в частности,

(1 /u (x)) ' = -u' (x) /u 2(x), () ' = u' (x) / 2 ;

2. (log_a u (x))' = (u'(x)log_ae)/u(x) при 0<a№1, u(x)>0, в частности, (ln u (x))' = u'(x)/ u (x);

3. (a ^{u (x)})' = a ^{u (x)}ln a u '(x) при 0<a№1, в частности, (e ^{u (x)})' = u'(x)e ^{u (x)};

4. (sin u (x))' = cos u (x) u '(x);

5. (cos u (x))' = -sin u (x) u '(x);

6. (tg u (x))' = u '(x)/cos² u (x) x№ p/2+p n, n=0,+-1,...;

7. (ctg u (x))' = - u '(x)/sin² u (x) x№ p n, n=0,+-1,...;

8. (arcsin u (x))' = u '(x)/ , -1< u (x)<1;

9. (arccos u (x))' = - u '(x)/ , -1< u (x)<1;

10. (arctg u (x))' = u '(x)/(1+ u ²(x));

11. (arcctg u (x))' = - u '(x)/(1+ u ²(x)).