Двойной и повторные интегралы

 

Двойной интеграл от функции f (x,y) обозначается как

где R - область интегрирования в плоскости O xy. Если определенный интеграл от функции одной переменной выражает площадь под кривой f (x) в интервале от x = a до x = b, то двойной интеграл выражает объем под поверхностью z = f (x,y) выше плоскости O xy в области интегрирования R

Формально двойной интеграл можно ввести как предел суммы Римана. Пусть, для простоты, область интегрирования R представляет собой прямоугольник (рисунок 2). Используя ряд чисел{ x ₀, x ₁,..., x _m }, разобьем отрезок [ a, b ] на малые интервалы таким образом, чтобы выполнялось соотношение

Аналогично, пусть множество чисел является разбиением отрезка [ c, d ] вдоль оси O y, при котором справедливы неравенства

Суммой Римана функции f (x,y) над разбиением называется выражение

где - некоторая точка в прямоугольнике и .

Двойной интеграл от функции f (x,y) в прямоугольной области определяется как предел суммы Римана, при котором максимальные значения Δ x_i и Δ y_j стремятся к нулю:

Чтобы определить двойной интеграл в произвольной области R, отличной от прямоугольной, выберем прямоугольник , покрывающий область R, и введем функцию g (x,y), такую, что

Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в произвольной области R определяется как

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. 

 

1. 

 

1. , где k - константа;

 

1. Если в области R, то ;

 

1. Если в области R и (рисунок 4), то ;

 

1. Если на R и области R и S являются непересекающимися, то .
   Здесь означает объединение этих двух областей.

Повторными интегралами называются интегралы вида

 

В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x:

 

.

 

Затем полученную функцию интегрируют по x:

Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь, но сначала рассмотрим простые и сложные области. Область называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. В декартовой системе координат обычно рассматривают направления вдоль осей O x и O y. Если область является простой в обоих направлениях, то говорят коротко – простая область, без выделения направления. Если область не является простой, то говорят, что она сложная.

Любую сложную область можно представить в виде суммы простых областей. Соответственно, любой двойной интеграл можно представить в виде суммы двойных интегралов по простым областям. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать, в основном, только интегралы по простым областям.

Теорема. Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox, то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

.

Если область интегрирования является правильной в обоих направлениях, то можно произвольно выбирать вид повторного интеграла, в зависимости от простоты интегрирования.