Криволинейный интеграл 2 типа (мех.работа)

Определение

Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).

В приведенной выше формуле α, β; и γ; − углы между касательной и положительными направлениями осейO x, O y и O z, соответственно.

Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

где .

Если кривая C лежит в плоскости O xy, то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

1. Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A. Тогда

2. Если C − объединение кривых C ₁ и C ₂ (рисунок 2 выше), то

3. Если кривая C задана параметрически в виде , то

4. Если кривая C лежит в плоскости O xy и задана уравнением (предполагается, что R = 0и t = x), то последняя формула записывается в виде