Формула Стокса

Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции

справедлива теорема Стокса:

где

− ротор векторного поля .

Символ показывает, что криволинейный интеграл вычисляется по замкнутой кривой.

Будем предполагать, что ориентация поверхности и направление обхода кривой соответствуют правилу правой руки. В этом случае при обходе кривой поверхность всегда остается слева, если голова направлена в ту же сторону, что и вектор нормали (рисунок 1).

Теорема Стокса связывает между собой криволинейные интегралы второго рода и поверхностные интегралы второго рода.

В координатной форме теорема Стокса может быть записана в следующем виде:

 

20.Формула Остроградского-Гаусса.

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

компоненты которого имеют непрерывные частные производные.

Согласно формуле Остроградского-Гаусса,

где через

обозначена дивергенция векторного поля (она обозначается также символом ). Символ указывает, что поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности.

Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами.

Данную формулу можно записать также в координатной форме:

В частном случае, полагая , получаем формулу для вычисления объема тела G: