Поверхностный интеграл 2 типа (поток)

Рассмотрим векторное поле и поверхность S, которая описывается вектором

Предполагается, что функции x (u,v), y (u,v), z (u,v) являются непрерывно дифференцируемыми в некоторой области D (u,v), и что ранг матрицы

равен 2.
Обозначим через единичный нормальный вектор к поверхности S в точке (x,y,z). Если поверхность S гладкая и векторная функция непрерывна, то в каждой точке поверхности существуют два противоположно направленных единичных нормальных вектора:

Выбор одного из них называется ориентацией поверхности.

Если S является границей ограниченной области, то ее можно ориентировать внешней или внутренней нормалями. Поверхность S, ориентированную внешней нормалью, называют ее внешней стороной, а ориентированную внутренней нормалью, − ее внутренней стороной.

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по ориентированной поверхности S (или поток векторного поля через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

· Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то

· Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то

Величина называется векторным элементом поверхности. Точка обозначает скалярное произведение соответствующих векторов. Частные производные, входящие в последние формулы, вычисляются следующим образом:

Если поверхность S задана явно в виде уравнения z = z (x,y), где z (x,y) − дифференцируемая функция в области D (x,y), то поверхностный интеграл второго рода от векторного поля по поверхности S записывается в одной из следующих форм:

· Если поверхность S ориентирована внешней нормалью (k -компонент вектора нормали является положительным), то

· Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью (k -компонент вектора нормали является отрицательным), то

Поверхностный интеграл второго рода можно записать также в координатной форме. Пусть P (x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) являются компонентами векторного поля . Введем cos α;, cos β;, cos γ; − направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Тогда скалярное произведение равно

Следовательно, поверхностный интеграл можно записать в виде

Поскольку (рисунок 1), и, аналогично, , получаем следующую формулу для вычисления поверхностного интеграла II рода:

Если поверхность S задана в параметрической форме с помощью вектора , то последняя формула принимает вид

где (u,v) изменяются в пределах области интегрирования D (u,v).

Если поверхность S не представима в явном или параметрическом виде, то ее можно попробовать разбить на конечное число частей, каждая из которых представима в таком виде. В этом случае справедливо свойство аддитивности: поверхностный интеграл второго рода по поверхности S будет равен сумме интегралов по ее частям.