Непрерывность суммы ряда

Теорема.

Если все члены ряда (1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].

 

Док-во: Пусть - произв.точка [a;b]. Для опр-ности будем считать, что (a;b). Нужно док-ть, что S(x)= непрерывна в , т.е < (2), [a;b].

По усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b], т.е

n [a;b] < (3), где = .

Фиксируем номер , тогда при n= из (3) получаем: < (4).

В частности, при x= находим < (5).

Ф-ция (x) непрерывна в как сумма конечного числа непрерывных ф-ций. По опр-ю непрерывности [a;b] < (6).

Восп. рав-вом S(x)-S()=(S(x)- (x))+( (x)- ())+( ()-S()).

Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника: < , для [a;b],

т.е справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки ф-ция S(x) непрерывна на отрезке [a;b].

 

31.Интегрирование и дифференцирование ряда.

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0:

Функция является непрерывной функцией при | x | < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой

Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство

Если ряд интегрируется на отрезке [0; x ], то справедлива формула: