Вывод формулы Тейлора
Теорема 1 (Тейлора). Пусть функция двух переменных
где ► Рассмотрим вспомогательную функцию
которая является сложной функцией независимой переменной Согласно формуле Тейлора для функции одной переменной с остаточным членом в форме Лагранжа имеем
(2) где Отсюда при
где Найдем производные функции
вторая –
По индукции получаем:
Тогда
…………………………………………………
Подставляя в формулу (2), имеем
где Следствие. При условиях теоремы 1 имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
► Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа для функции
является при
|
непрерывна со всеми частными производными до 
порядка включительно в некоторой 
-окрестности точки 
. Тогда справедлива формула формулой Тейлора для функции двух переменных
, (1)
, 
; 
.
, 
,
и имеет 
.
,
.
получим
,
. Так как 
и 
, то первая производная есть:
,
.
, 
,
.
,
,
,
,
.
,
.◄
. (3)
бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с 
, где 
. Поэтому остаточный член 
можно представить в форме Пеано
. ◄
