Признаки сравнения (неравенства)

Метод исследования несобственного интеграла на сходимость, основанный на вычислении предела первообразной функции, далеко не всегда может рассматриваться как наиболее оптимальный. На практике обычно прибегают к признакам сравнения или признакам сходимости. Суть типичного признака сравнения заключается в следующем.

Признак сравнения Пусть функции f (x) и g (x) определены на промежутке (A, B) и удовлетворяют неравенству , где A и B – любые числа (не обязательно конечные). Тогда
1) из сходимости интеграла вытекает сходимость интеграла .
2) расходимость интеграла влечет расходимость интеграла .

Другими словами, исследуемый на сходимость интеграл сравнивается с эталонным. Если эталонный интеграл больше исследуемого и сходится, то сходится и исследуемый. Если же эталонный интеграл меньше исследуемого и расходится, то расходится и исследуемый.

Если существует отличный от нуля предел функции f (x) при , то интеграл расходится. Однако равенство нулю такого предела не является достаточным условием сходимости этого интеграла. Например, , тогда как интеграл расходится.

Признак сравнения 1 можно переформулировать, положив в основу сопоставление быстроты изменения исследуемой и эталонной функций в окрестности соответствующей точки "несобственности" (в том числе и бесконечно удаленной).

23.Предельный признак сравнения.
Признак сравнения Если существует предел , то
при интегралы и сходятся или расходятся одновременно;
при сходимость интеграла влечет за собой сходимость интеграла ;
при из расходимости интеграла вытекает расходимость интеграла .
Аналогичным образом формулируются признаки сходимости интегралов вида .
С геометрической точки зрения сходимость интеграла означает, что площадь области, заключенной между кривой y = f (x) и осью абсцисс, конечна.