Операции над векторамиПод линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитание векторов, а так же умножение вектора на число. Сложение векторов Определение 3.7. Пусть Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Рис. 3.3. Сложение векторов по правилу треугольников Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис. 3.4)
Рис. 3.4. Сложение векторов по правилу параллелограмма. Теперь рассмотрим сложение любого числа векторов. Пусть заданы n векторов
Рис. 3.4. Сложение любого числа векторов. Если система векторов задана своими координатами (
Определение 3.8. Под разностью векторов
Рис. 3.5. Разность векторов. Если векторы сx = ax – bx, сy = ay – by, сz= az – bz. (3.4) Определение 3.9. Произведением k k < 0. Свойства умножения вектора на число: 1) k( a + b ) = k a + k b. 2) (k + m) a = k a + m a. 3) k(m a ) = (km) a. Свойства линейных операций над векторами. 1) 2) 3) 4) 5) (a×b) 6) (a+b) 7) a( 8) 1× Проекция вектора на ось. Пусть задан вектор АВ и ось х. Рассмотрим вектор А1В1, началом кото- рого является точка А1 – проекция точки А на ось х, а концом – точка В1 - проекция точки В на ту же ось.
Рис. 3.6. Проекция вектора АВ на ось х Определение 3.10. Проекцией вектора АВ на ось х называется длина вектора А1В1, взятая со знаком «+», если направление А1В1 совпадает с направлением оси х, со знаком «-», если направление А1В1 противоположно направлению оси х. Прх АВ = ± | А1В1 |. (3.5) Свойства проекций. 1). Прх АВ = | АВ | ∙ cos (AB ^x); 2). Прх λ∙ АВ = λ∙; Прх АВ; 3). Прх ( Разложение вектора по ортам координатных осей Рассмотрим прямоугольную декартовую систему координат (Оxyz) с началом отсчёта в точке О (i, j, k – орты координатных осей). Пусть задан вектор
Рис. 3.7. Разложение вектора по ортам осей координат. Обозначим координаты вектора ax = Прx Так как то вектор
Скалярное произведение двух векторов В физических и технических приложениях математики большое значение имеет решение задачи об определении работы, совершаемой заданной постоянной силой F при перемещений материальной точки. Если точка перемещается прямолинейно, то, как известно, работа равна произведению величины силы на величину перемещения и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения. Обозначив силу F, а перемещение АВ, получаем для вычисления работы выражение: A (F) = |F| ∙; | AB| ∙;cos(F^AB). Так как подобная «операция» с двумя векторами встречается весьма часто, то для нее введено операция скалярного произведения. Определение 3.11. Скалярным произведением, двух векторовназывается произведение их длин и косинуса угла между ними. Скалярное произведение двух векторов а и b обозначаем символом a∙b. В соответствии с определением a ∙ b = | a | | b | cos(a ^ b). (3.8) Свойства скалярного произведения 1) a ∙ b = b ∙ a; 2) (α ∙ a) ∙;(β ∙ b) = α ∙;β(a ∙ b); 3) (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c; 4) cos(a ^ b) = Откуда следует, что условие ортогональности двух векторов (а ┴ b) a ∙ b = 0. (3.9) Вычисление скалярного произведения через координаты векторов Учтём, что орты прямоугольной декартовой системы координат обладают следующим свойством: i ∙ i = 1, j ∙ j = 1, k ∙ k = 1, i ∙ j = 0, i ∙ k = 0, j ∙ k = 0. Пусть заданы векторы a ∙ b = учитывая свойства ортов координатных осей, получим
т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов. Условие ортогональности двух векторов (а ┴ b) a ∙ b = ax bx + ay by + az bz = 0. (3.11) Векторное произведение двух векторов Одними из важнейших понятий физики, механики и электродинамики являются понятия момента силы, момента количества движения, индукционный ток и др. Например, механический эффект действия силы - прямолинейное поступательное движение, а механический эффект от действия момента силы – вращательное движение вокруг некоторой оси. Вычисления указанных моментов связано с векторным произведением двух векторов. Определение 3.12. Векторное произведение двух векторов
1. | 2.
Рис. 3.8. Векторное проиведение [ Замечание. Модуль векторного произведения равен площади парал-лелограмма, построенного на заданніх векторах. Свойства векторного произведения. 1). 2). (α 3). ( Вычисление векторного произведения через координаты векторов Учтём, что орты прямоугольной декартовой системы координат обладают следующим свойством: i j k Пусть заданы векторы a учитывая свойства ортов координатных осей, получим
или Важной геометрической задачей, решаемой с помощью операции векторного произведения, является вычисление площади треугольника по координатам его вершин. Пусть заданы координаты вершин треугольника A, B, C. Зная их, находим векторы АВ и АС. Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного векторах АВ и АС. Следовательно SABC = ½ | АВ Пример. A (1, -2,0), B(2,1,-1), C(0,3,1). Найти SABC. Решение. АВ = (1, 3, -1), АС = (-1, 5, 1). АВ | АВ Смешанное произведение векторов. Определение 3.13. Скалярное произведение вектора
и представляет собой скаляр (число). Выясним геометрический смысл введенного понятия. Пусть точка О есть общее начало трех некомпланарных векторов = | Итак, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Рис. 3.9. Смешанное произведение векторов Если в смешанном произведении тройки векторов их переставлять, то параллелепипед, построенный на выбранных векторах, очевидно, не изменится. Значит, не изменится и абсолютная величина смешанного произведения. Поэтому при круговой перестановке векторов смешанное произведение векторов не меняется. Итак
Если векторы заданы своими координатами в некоторой декартовой прямоугольной системе координат вектор
или Если заданные три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
|
и 
два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку О и построим вектор 
. От точки А отложим вектор 
. Вектор 
, соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов 
(см. рис. 3.3).
. И требуется найти их сумму. Выбираем произвольную точку О (полюс) и с началом в этой точке отложим вектор 
, к концу вектора 
,к концу построенного вектора 
и т.д. Наконец, к концу вектора 
приставим начало вектора 
(рис. 3.4). Тогда вектор 
, началом которого является начало вектора 
. При этом безразлично, в каком порядке нумеруются заданные векторы.
), то координаты суммарного вектора 
) определяются следующими соотношениями
, 
, 
. (3.3)
Разность векторов
такой, что 
(рис. 3.5)
+ 
= 
) = (
= 
) = Прх 
.
+ 
+ 
(см. рис. 3.7) и 
.
3.
.
, SABC = 4 
= 
.
