Операции над векторами

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитание векторов, а так же умножение вектора на число.

Сложение векторов

Определение 3.7. Пусть и два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку О и построим вектор . От точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (см. рис. 3.3).

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Рис. 3.3. Сложение векторов по правилу треугольников

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис. 3.4)

Рис. 3.4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Теперь рассмотрим сложение любого числа векторов. Пусть заданы n векторов . И требуется найти их сумму. Выбираем произвольную точку О (полюс) и с началом в этой точке отложим вектор , к концу вектора приставим начало вектора ,к концу построенного вектора приставим начало вектора и т.д. Наконец, к концу вектора приставим начало вектора (рис. 3.4). Тогда вектор , началом которого является начало вектора , а концом – конец вектора , и будет суммой векторов : . При этом безразлично, в каком порядке нумеруются заданные векторы.

Рис. 3.4. Сложение любого числа векторов.

Если система векторов задана своими координатами (), то координаты суммарного вектора () определяются следующими соотношениями

, , . (3.3)

Разность векторов

Определение 3.8. Под разностью векторов и понимается вектор

такой, что (рис. 3.5)

Рис. 3.5. Разность векторов.

Если векторы и заданы своими координатами (a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z), то координаты разности векторов определяются по формулам

с_x = a_x – b_x, с_y = a_y – b_y, с_z= a_z – b_z. (3.4)

Определение 3.9. Произведением k вектора на число k называется вектор , коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный | k || a |, и направление, совпадающее с направлением при k > 0 и противоположное при

k < 0.

Свойства умножения вектора на число:

1) k( a + b ) = k a + k b.

2) (k + m) a = k a + m a.

3) k(m a ) = (km) a.

Свойства линейных операций над векторами.

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

8) 1× =

Проекция вектора на ось.

Пусть задан вектор АВ и ось х. Рассмотрим вектор А₁В₁, началом кото-

рого является точка А₁ – проекция точки А на ось х, а концом – точка В₁ - проекция точки В на ту же ось.

Рис. 3.6. Проекция вектора АВ на ось х

Определение 3.10. Проекцией вектора АВ на ось х называется длина вектора А₁В₁, взятая со знаком «+», если направление А₁В₁ совпадает с направлением оси х, со знаком «-», если направление А₁В₁ противоположно направлению оси х.

Пр_х АВ = ± | А₁В₁ |. (3.5)

Свойства проекций.

1). Пр_х АВ = | АВ | ∙ cos (AB ^x);

2). Пр_х λ∙ АВ = λ∙; Пр_х АВ;

3). Пр_х () = Пр_х + Пр_х - Пр_х .

Разложение вектора по ортам координатных осей

Рассмотрим прямоугольную декартовую систему координат (Оxyz) с началом отсчёта в точке О (i, j, k – орты координатных осей). Пусть задан вектор = ОА, начало которого совпадает с началом координат, т.е. вектор является радиусом-вектором точки А.

Рис. 3.7. Разложение вектора по ортам осей координат.

Обозначим координаты вектора на оси координат

a_x = Пр_x , a_y = Пр_y , a_z = Пр_z . (3.6)

Так как = + + (см. рис. 3.7) и = a_x i, = a_y j, = a_z k,

то вектор имеет единственное разложение по ортам осей координат

= a_x i + a_y j + a_z k. (3.7)

Скалярное произведение двух векторов

В физических и технических приложениях математики большое значение имеет решение задачи об определении работы, совершаемой заданной постоянной силой F при перемещений материальной точки. Если точка перемещается прямолинейно, то, как известно, работа равна произведению величины силы на величину перемещения и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения. Обозначив силу F, а перемещение АВ, получаем для вычисления работы выражение: A (F) = |F| ∙; | AB| ∙;cos(F^AB). Так как подобная «операция» с двумя векторами встречается весьма часто, то для нее введено операция скалярного произведения.

Определение 3.11. Скалярным произведением, двух векторовназывается произведение их длин и косинуса угла между ними.

Скалярное произведение двух векторов а и b обозначаем символом a∙b. В соответствии с определением

a ∙ b = | a | | b | cos(a ^ b). (3.8)

Свойства скалярного произведения

1) a ∙ b = b ∙ a;

2) (α ∙ a) ∙;(β ∙ b) = α ∙;β(a ∙ b);

3) (a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c;

4) cos(a ^ b) = .

Откуда следует, что условие ортогональности двух векторов (а _┴ b)

a ∙ b = 0. (3.9)

Вычисление скалярного произведения через координаты векторов

Учтём, что орты прямоугольной декартовой системы координат обладают следующим свойством:

i ∙ i = 1, j ∙ j = 1, k ∙ k = 1, i ∙ j = 0, i ∙ k = 0, j ∙ k = 0.

Пусть заданы векторы = a_x i + a_y j + a_z k и = b_x i + b_y j + b_z k. Определим скалярное произведение

a ∙ b = ∙; = (a_x i + a_y j + a_z k) ∙;(b_x i + b_y j + b_z k),

учитывая свойства ортов координатных осей, получим

∙; = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z. (3.10)

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

Условие ортогональности двух векторов (а _┴ b)

a ∙ b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = 0. (3.11)

Векторное произведение двух векторов

Одними из важнейших понятий физики, механики и электродинамики являются понятия момента силы, момента количества движения, индукционный ток и др. Например, механический эффект действия силы - прямолинейное поступательное движение, а механический эффект от действия момента силы – вращательное движение вокруг некоторой оси. Вычисления указанных моментов связано с векторным произведением двух векторов.

Определение 3.12. Векторное произведение двух векторов и называется вектор , модуль которого равен произведению модулей векторов – сомножителей, перпендикулярен плоскости этих векторов и направлен так, что из его конца виден поворот от к по кратчайшему пути, против хода часовой стрелки.

= , (3.11)

1. | | = | | = | | | | sin( ^ );

2. _┴ , _┴ ;

3.

Рис. 3.8. Векторное проиведение [ ].

Замечание. Модуль векторного произведения равен площади парал-лелограмма, построенного на заданніх векторах.

Свойства векторного произведения.

1). = - ;

2). (α ) (β ) = (α β) [ ];

3). ( + ) = + .

Вычисление векторного произведения через координаты векторов

Учтём, что орты прямоугольной декартовой системы координат обладают следующим свойством:

i i = 0, i j = k, i k = - j,

j i = - k, j j = 0, j k = i,

k i = j, k j = - i, k k = 0.

Пусть заданы векторы = a_x i + a_y j + a_z k и = b_x i + b_y j + b_z k. Определим скалярное произведение

a b = = (a_x i + a_y j + a_z k) (b_x i + b_y j + b_z k),

учитывая свойства ортов координатных осей, получим

= (a_y b_z– a_z b_y) i + (a_z b_x– a_x b_z) j + (a_x b_y– a_y b_x) k. (3.12)

или = .

Важной геометрической задачей, решаемой с помощью операции векторного произведения, является вычисление площади треугольника по координатам его вершин.

Пусть заданы координаты вершин треугольника A, B, C. Зная их, находим векторы АВ и АС. Площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, построенного векторах АВ и АС. Следовательно

S_ABC = ½ | АВ АС |. (3.13)

Пример. A (1, -2,0), B(2,1,-1), C(0,3,1). Найти S_ABC.

Решение. АВ = (1, 3, -1), АС = (-1, 5, 1).

АВ АС = [3∙1 - (-1) ∙5] i + [(-1) ∙(-1) - 1∙1] j + [1∙5 - 3∙(-1)] k = 8 i + 8 k,

| АВ АС | = 8 , S_ABC = 4 .

Смешанное произведение векторов.

Определение 3.13. Скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и называется смешанным произведением векторов , и . Таким образом, смешанное произведение векторов , и есть выражение

∙ ( ) (3.14)

и представляет собой скаляр (число).

Выясним геометрический смысл введенного понятия. Пусть точка О есть общее начало трех некомпланарных векторов , , . Построим на заданных векторах параллелепипед (рис. 3.9) и найдем вектор = . Из определения скалярного произведения векторов, получаем ∙ ( ) = ∙ =

= | | Пр_d . Но так как вектор перпендикулярен плоскости векторов и , то проекция вектора на ось, направленную по вектору , либо равна высоте параллелепипеда. По определению длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и . Поэтому ∙ есть объем параллелепипеда.

Итак, абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Рис. 3.9. Смешанное произведение векторов , и .

Если в смешанном произведении тройки векторов их переставлять, то параллелепипед, построенный на выбранных векторах, очевидно, не изменится. Значит, не изменится и абсолютная величина смешанного произведения. Поэтому при круговой перестановке векторов смешанное произведение векторов не меняется. Итак

∙ ( ) = ∙ ( ) = ∙ ( ). (3.15)

Если векторы заданы своими координатами в некоторой декартовой прямоугольной системе координат (a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z), (c_x, c_y, c_z), то

вектор = = (b_yc_z - b_zc_y, b_zc_x - b_xc_z, b_xc_y - b_yc_x). В результате

∙ ( ) = a_x (b_yc_z - b_zc_y) + a_y (b_zc_x - b_xc_z) + a_z (b_xc_y - b_yc_x) (3.16)

или ∙ ( ) = .

Если заданные три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

∙ ( ) = 0 – условие компланарности трёх векторов. (3.17)

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 606. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

Гносеологический оптимизм, скептицизм, агностицизм.разновидности агностицизма Позицию Агностицизм защищает и критический реализм. Один из главных представителей этого направления...

Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия