Кривые второго порядка на плоскости

Самое общее уравнение 2-й степени с двумя неизвест­ными имеет вид

Ах² + Вху + Су² + Dx + Еу + F = 0, (3.48)

при этом предполагается, что хотя бы один из коэффи­циентов А, В, С не равен нулю. Линии, соответствующие этому уравнению, называются кривыми 2-го порядка.

Простейшей такой кривой является окружность. Пусть центр окружности находится в точке М₀(а, b) и радиус окружности равен R. Так как окружность есть множество точек, находящихся на заданном расстоянии от центра М ₀, то | М₀М | =R или

(x - а)² + (у – b)² = R². (3.49)

Кривыми 2-го порядка частично зна­комые из школьного курса математики, это эллипс, гипербола и парабола. Теперь рассмотрим теорию кривых 2-го порядка с более общих позиций и на основании их уравнений установим некоторые свойство этих кривых. Прежде всего дадим определение этих трех основных кривых, выведем их простейшие уравне­ния и исследуем их форму.

Определение 3.16. Эллипсом называется множество точек (на плоскости), сумма расстояний от которых до двух данных точек постоянна.

Выберем систему прямоугольных декартовых коорди­нат так, чтобы ось абсцисс проходила через обе задан­ные точки F₁ и F₂, а начало координат находилось в се­редине отрезка F₁F₂ (рис. 3.20).

Рис. 3.20 Рис. 3.21

Пусть М (х, у) одна из точек рассматриваемого мно­жества. Обозначим через 2 с расстояние между задан­ными точками F₁ и F₂ и через 2 а заданную сумму расстояний F₁М и F₂M. Очевидно, что точка F₁ имеет координаты (-с, 0), а точка F₂ координаты (с, 0).

По определению, имеем:

| F₁М | + | F₂M | = 2 a, (3.50)

отсюда получаем уравнение

= 2 a.

По существу это уравнение уже и есть уравнение рассматриваемого множества точек. Но оно имеет неудобный для исследования вид; преобразуем его к более простой форме

,

,

,

,

.

Так как 2 а > 2 с (сумма двух сторон треугольника больше 3-й его стороны), то а²—с² > 0. Положим

а² - с² = b².

Тогда окончательно в выбранной системе координат (см. рис. 3.21) получим уравнение

. (3.51)

Вид данной кривой представлен на рисунке 3.21. Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса, чис­ла а и b полуосями эллипса, точки пересечения эл­липса с его осями симметрии — вершинами эллипса.

С изменением с меняется форма эллипса. Если с стре­мится к нулю, т. е. фокусы эллипса сливаются, то b стре­мится к а и эллипс становится окружностью с уравнени­ем х² + у² = а², т. е. окружность есть частный случай эллипса, когда полуоси эллипса равны между собой.

Если же с стремится к а, то стремится к нулю и, следовательно, эллипс сжимается вдоль оси ординат. Значит, отношение с/а может служить мерой сжатия эллипса, мерой его отклонения от окружности.

Число е = с / а _(0 ≤ е < 1) называется эксцентриситетом эллипса.

Определение 3.17. Гиперболой называется множество точек (на плоскости), абсолютное значение разности расстояний от которых до двух данных точек постоянно (и отлично от нуля).

Систему координат выберем так же, как при выводе уравнения эллипса (рис. 3.22). Из определения имеем:

|| F₁М | - | F₂M || = 2 a,

,

,

,

.

Рис. 3.22.

Так как разность двух сторон треугольника меньше третьей его стороны, 2 а > 2 c. Положим с² - а² = b². Тогда окончательно получаем

. (3.52)

Отметим некоторые свойства гиперболы. Эта линия симметрична на относительно осей координат и относительно начала координат.

Так как у = , то для всех точек кривой х ≥ а и нет точек кривой в полосе – а < x < a. Кривая состоит, следовательно, из двух отдельных частей — в е т ­в е й г и п е р б о л ы, одна из которых лежит в области х ≥ а, а другая — в области х ≤ - а (правая и левая вет­ви гиперболы).

Число а называется обычно в е щ е с т в е н н о й п о ­л у о с ь ю гиперболы, число b м н и м о й п о л у о с ь ю. Точки пересечения гиперболы с ее осью симметрии назы­ваются в е р ш и н а м и гиперболы, точки F₁ и F₂ — ее ф о к у с а м и.

Отметим еще одну особенность формы изучаемой линии. Рассмотрим вместе с гиперболой две прямые: у = , которым как угодно близко при подходят точки ветвей гиперболы. Эти прямые называются а с и м п т о т а м и гиперболы. Легко видеть, что асимптоты гиперболы направлены по диагоналям прямоугольника со сторонами 2 а и 2 b (см. рис. 3.18).

Третьей основной кривой 2-го порядка является пара­бола.

Определение 3.18. Параболой называется множество то­чек (на плоскости), равноотстоящих от заданной точки и заданной прямой.

Выберем ось абсцисс прямоугольной декартовой си­стемы координат так, чтобы она проходила через задан­ную точку F перпендикулярно к заданной прямой l, начало координат пусть находится в середине отрезка FK (рис. 3.23). Направление оси абсцисс указано на ри­сунке.

Рис. 3.23

Расстояние от точки Р да прямой l обозначив через р. Тогда точка F будет иметь координаты: (р/2, 0), а уравнение прямой l: х = -p/2.

Пусть М(х, у) —произвольная точка расположенной на параболе и А — основание перпендикуляра, опу­щенного из М на l.

Так как точка А имеет координаты (- р/2, у) и по определ ению | АМ |=| FM |, то , (х + р/2)²=(х - р/2)² + у²,

и окончательно

. (3.53)

Отметим некоторые свойства параболы. Так как y ² ≥ 0, то х не может быть отрицательным и все точки кривой лежат в правой полуплоскости. При возрастании х от 0 до + ∞ \у | неограниченно рас­тет. Ясно также, что кривая симметрична относительно оси абсцисс.

Заданная точка F назы­вается ф о к у с о м парабо­лы, точка пересечения пара­болы с ее осью симметрии — в е р ш и н о й параболы.