Задачи для самостоятельной работы. 1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы: 1) ; 2)1. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы: 1) ; 2) ; 3) ? 2. Векторы и образуют угол , причем , . Определить и . 3. По данным векторам и построить векторы , , . 4. В треугольнике даны векторы и . Найти векторы и , где М – середина стороны АВ. 5. Найти орт вектора и его направляющие косинусы. 6. Доказать, что точки , и лежат на одной прямой, причем точка В расположена между А и С. 7. Определить, при каких значениях α и β векторы и коллинеарны. 8. Доказать, что четырехугольник с вершинами , , , есть параллелограмм. Найти длины его сторон. 9. Даны точки , , и . Проверить, что векторы и коллинеарны. Какой из них длиннее другого, во сколько раз и как они направлены? 10. Дан вектор . Определить разложение по этому же базису вектора , параллельного вектору , противоположного с ним по направлению, при условии, что . 11. Заданы векторы и . Проверить, образуют ли они базис, и, если образуют, найти разложение вектора по базису . 12. Даны два вектора и . Найти скалярное произведение этих векторов и косинус угла между ними. 13. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними углы, равные . Зная, что , , найти: 1) ; 2) . 14. Дано, что , . При каком значении α векторы и будут перпендикулярны, если ? 15. Найти векторное произведение векторов и и его модуль. 16. Найти площадь треугольника с вершинами , , . 17. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоты АМ. 18. Даны координаты вершин пирамиды , , и . Найти смешанное произведение векторов , и и определить объём пирамиды, построенной на этих векторах. 19. Установить, компланарны ли векторы , , если: 1) , , ; 2) , , . 20. Доказать, что точки , , , лежат в одной плоскости. 21. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , , .
|