Пример 2.2

Даны на координатной плоскости xOy вершины A (-1; 1), B (5; 4), C (2; 5) треугольника.

Найти:

1) длину и уравнение каждой из трёх сторон Δ ABC;

2) уравнение высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ;

3) уравнение медианы, проведённой через вершину С;

4) точку пересечения высот треугольника;

5) длину высоты, опущенной из вершины С;

6) площадь Δ ABC;

7) систему неравенств, определяющих треугольник АВС.

Сделать чертёж.

 

1) найти длину и уравнение сторон

длины сторон

,

уравнения сторон через две точки:

 

AB:

 

3 x + 3 = 6 y - 6; x - 2 y + 3 = 0 общее уравнение AB

 

 

- x + 2 = 3 y -15; x + 3 y - 17 = 0 общее уравнение BC

 

 

-4 x + 8 = -3 y + 15; 4 x - 3 y + 7 = 0 общее уравнение AC

 

2) уравнение высоты с D:

так как CD перпендикулярно AB, то

уравнение CD составим через уравнение пучка прямых через C:

y - 5 = -2 (x - 2)

y - 5 = -2 x + 4

2 x + y - 9 = 0 общее уравнение CD

 

3) уравнение медианы CE

уравнение CE через две точки C и E:

;

 

2,5 (x - 2) = 2 (y - 5);

5 x - 10 = 4 y - 20;

5 x - 4 y + 10 = 0 общее уравнение CE.

 

4) точка пересечения высот.

найдём высоту из вершины B:

уравнение

3 x + 4 y - 31 = 0 - уравнение

 

т.п. :

т.к: Решение методом Крамера:

 

5) Длина высоты CD:

найти точку D:

;

 

6) Площадь треугольника ABC:

.

 

7) Система неравенств, определяющих треугольник АВС: