Определение 2.1

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y Ф(х,у) = 0, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Замечание. Часто удобно использовать параметрические уравнения линии: , где функции непрерывны по параметру t.

1) Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

.

2) Частные случаи

Значение коэффициента	Вид уравнения	Положение прямой
С=0	Ax+By=0 y=kx	Проходит через начало координат
A=0	By+C=0 y=b	Параллельна оси Ox
B=0	Ax+C=0 x=a	Параллельна оси Oy
A=C=0	y=0	Совпадает с осью Ox
B=C=0	x=0	Совпадает с осью Oy

 

3) Векторное уравнение

Пусть М₀(х₀,у₀) – заданная точка прямой, - ненулевой вектор, перпендикулярный прямой (он называется нормальным вектором прямой). Тогда векторное уравнение прямой имеет вид , где М(х,у) – произвольная точка на прямой и вектор - вектор, перпендикулярный вектору нормали. Если переписать уравнение в координатной форме, то получим

4) Уравнение прямой в «отрезках»

 

Если , то после преобразования общего уравнения имеем , где a и b – соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ox и Oy.

5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если , то после преобразования общего уравнения имеем , где - угловой коэффициент, b – начальная ордината.

6) Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть прямая проходит через две точки А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂). Тогда ее уравнение

,

где - направляющий вектор данной прямой.

7) Канонические уравнения прямой

Пусть М(х₀,у₀) – заданная точка прямой, а - направляющий вектор прямой. Тогда канонические уравнения прямой на плоскости имеют вид

.

8) Параметрические уравнения прямой

Рассмотрим канонические уравнения прямой и введем параметр t

. Тогда получим систему, которая дает параметрические уравнения прямой на плоскости

9) Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении

Уравнение прямой, проходящей через точку А(х₁,у₁) под углом φ к положительному направлению оси О_х, имеет вид , где k=tgφ; – угловой коэффициент прямой.

10) Угол между двумя прямыми

Если прямые заданы общими уравнениями , то .

Угол φ между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ определяется из соотношения

.

Угол φ между прямыми, заданными каноническими уравнениями определяется из соотношения .

Данные формулы определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

11) Условие параллельности прямых

Если прямые заданы общими уравнениями , то они параллельны в случае .

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами , то они параллельны в случае k₁= k₂.

Если прямые заданы каноническими уравнениями , то они параллельны в случае .

12) Условие перпендикулярности прямых

Если прямые заданы общими уравнениями , то они перпендикулярны в случае .

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами , то они перпендикулярны в случае k₁= - 1/k₂.

Если прямые заданы каноническими уравнениями , то они перпендикулярны в случае .

13) деление отрезка в заданном соотношении

Если точка (х,у) делит отрезок, ограниченный точками А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂) в отношении λ, то ее координаты определяются

.

Координаты точки С, делящей отрезок АВ пополам

.

14) Расстояние между точками

Расстояние d_AB между точками А(х₁,у₁) и В(х₂,у₂):

.

15) Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от заданной точки М₀(х₀,у₀) до заданной прямой с уравнением Ах+Ву+С=0 определяется по формуле

.