Определение 2.5.2

Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением

,

где - вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр O(a,b,c) и радиус R, определяется уравнением

.

Сфера, имеющая центр O(0,0,0) и радиус R, определяется уравнением

.

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии - центром эллипсоида. Числа , , называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если , то все сечения эллипсоида плоскостями z=h, h<c, будут окружностями.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

 

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение

которой имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

 

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где a, b, c - положительные числа.

 

 

 

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где a, b – положительные числа.

 

 

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

где a, b - положительные числа.

 

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые - образующими.

 

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

называется эллиптическим цилиндром.

 

 

Поверхность, которая задается уравнением называется

гиперболическим цилиндром.

 

 

 

 

Поверхность, которая задается уравнением

называется параболическим цилиндром.