Лекция 3

 

3.1. Математические модели и методы в исследовании производственно-экономических ситуаций.

Функции, графики, дифференциальное исчисление в экономическом анализе. Исследования и наблюдения в окружающем нас мире показывают, что все экономические величины (цена товара, прибыль субъекта хозяйствования, объем производства, инфляция и безработица и др.) тесно связаны между собой определенным образом.

Понятие функции или функциональной зависимости — основное математическое понятие, с помощью которого моделируются взаимосвязи между реальными величинами, качественные и количественные соотношения между технико-экономическими характеристиками и показателями. Функция у = f (х) считается заданной, если известна закономерность, по которой каждому значению х из некоторого множества А соответствует одно вполне определенное значение у из некоторого числового множества В. Любую функцию можно задавать различными способами (наиболее часто используют задание в виде формулы, таблицы или графика, а при использовании ЭВМ — алгоритма).

В экономике часто требуется найти наилучшее в том или ином смысле, или оптимальное, значение того или иного показателя: максимальное значение прибыли, производительности оборудования или труда, минимальное значение стоимости, издержек, затрат времени и т.д. Нахождение оптимального значения показателя при этом сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции от одной или нескольких переменных. Необходимым условием экстремума функции у = f(x) является равенство нулю ее первой производной. При исследовании на экстремум функций нескольких переменных используются методы дифференциального исчисления, когда решаемые задачи включают не только минимизируемую (максимизируемую) функцию, но и ограничения. К таким задачам относятся задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, опирающиеся на дифференциальное исчисление, и методы теории исчисления операций и предельного анализа.

Наряду с этим часто используются понятия средней величины (средние издержки, средний ущерб, средняя прибыль и др.). При этом часто требуется определить, на какую величину улучшится результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся, т. е. необходимо определить предел отношения приростов результатов и затрат с нахождением предельного эффекта. Для решения подобных задач необходимо применение методов дифференциального исчисления — нахождение производной для функции одной переменной и частных производных для функции нескольких переменных (см. Курс Экономической Теории под ред. Сидоровича главы 4 - 30).

В экономических приложениях математики широко используются линейные и нелинейные функции двух и более (n) переменных. Упорядоченная пара первых частных производных вида

, или ,

функции у = f(x ₁, x₂) двух переменных х ₁и х₂ обозначается символом

grad f (x ₁, x₂) или f (x ₁, x₂) или grad у (x ₁, x₂)

и называется градиентом функции ^[2] от двух переменных х ₁и х₂ исходной функции f (x ₁, x₂)или у (x ₁, x₂).

Градиент (см. приложение - 1. Градиент) grad f (x ₁, x ₂) от функции f(x ₁, x ₂ ) в точке A(x⁰ ₁, x⁰ ₂ ) показывает направление самого быстрого роста функции f (x ₁, x ₂ ) в точке A(x⁰ ₁, x⁰ ₂ ) (см. рис. 1.1,а).

Точка В (x⁰ ₁, x⁰ ₂) называется критической для функции f(x ₁, x₂) если координаты x⁰ ₁ и x⁰ ₂ этой точки удовлетворяют системе уравнений , . Поэтому точки локального экстремума следует искать только среди критических точек этой функции. Однако критическая точка не обязательно должна являться точкой (локального) экстремума.

Второй частной производной функции у = f (x ₁, x ₂ ) двух переменных называется (первая) частная производная от (первой) частной производной. Таким образом, можно получить четыре вторых частных производных:

; ; ; .

Если смешанные вторые частные производные

;

непрерывны, то они обязательно равны. В отличие от смешанных, вторые частные производные ; принято называть частными.

Достаточное условие локального экстремума формулируется так. Пусть функция у = f (x ₁, x ₂ ) имеет критическую точку В(x⁰ ₁, x⁰ ₂ ), внутреннюю для области определения функции f (x ₁, x ₂ ) т.е. пусть

, .

1) пусть (или ), . - ,

тогда точка В(x⁰ ₁, x⁰ ₂ ) - точка локального минимума функции у = f (x ₁, x ₂ );

2) пусть (или ), . - ,

тогда точка В(x⁰ ₁, x⁰ ₂ ) —точка локального максимума функции у = f (x ₁, x ₂ );

3) пусть . - ,

тогда в точке В (, ) функция у = f (x ₁, x ₂ ) локального и, следовательно, глоба­ль­ного экстремума не имеет.

Для функции у = f(x ₁, …, x _n ) определение условия локального экстремума повторяется почти дословно. В частности, необходимое условие локального экстремума имеет вид:

, , ….., .

Достаточное условие локального экстремума из-за сложности записи здесь не приводится. Заметим, что более точными являются термины: безусловный локальный (или глобальный) максимум (минимум); точка безусловного локального (или глобального) максимума (минимума). Иногда вместо термина безусловный используют термин абсолютный.

Пример 3.1. Известно, что прибыль (PR) определяется по формуле:

PR (х₁, х₂) = p ₀ f (x ₁, x ₂) – (p ₁ x ₁+ p ₂ x ₂)

где f (x ₁, x ₂) - производственная функция фирмы; p ₀ — рыночная цена готовой продукции фирмы, р ₁и p ₂— рыночные цены первого и второго ресурсов (факторов производства). Выражение p ₀ f (x ₁, x ₂ ) — выручка фирмы, a (p ₁ x ₁+ p ₂ x ₂) - издержки производства фирмы, если для выпуска продукции ею затрачиваются первый и второй ресурсы в количестве x ₁, и x ₂ единиц соответственно. Необходимо определить комбинацию В(x⁰ ₁, x⁰ ₂ ) ресурсов, при которой фирма получит наибольшую прибыль (пример в Excel из лабораторной работы №3 по краскам).

Решение. Необходимо найти критические точки функции PR (х₁, х₂), т. е. найти решение системы уравнений:

дPR (х₁, х₂)/ дх ₁, = p ₀ д f (x ₁, x ₂)/ дх ₁ – p ₁= 0;

дPR (х₁, х₂)/ дх ₂, = p ₀ д f (x ₁, x ₂)/ дх ₂ – p ₂= 0

Из специфики производственной функции (см. лит.[50] гл.10) известно, если ее график напоминает горку, то часто ее критическая точка В (x⁰ ₁, x⁰ ₂) является единственной и обязательно точкой глобального максимума прибыли у=PR (х₁, х₂).

Графики в экономическом моделировании. Кчислу распространенных зависимостей в экономике можно отнести графики зависимостей спроса и предложения, спроса и дохода, потребления и бюджетного ограничения, издержек и доходов от объема производства. Рассмотрим их более подробно.

Функции спроса и предложения p (q) выражают связь цены р
какого либо товара и величины спроса q на него или предложения S этого товара
при постоянных значениях предпочтении потребителей, цен на прочие блага и других параметров. График функции спроса (q) и предложения S (q) имеет вид рис. 3.1.б.

 

Рис. 3. 1. Распространенные графики функций в экономике:

а - градиент функции в задаче потребительского выбора;

б - функция спроса
S(q) и предложения D(q);

в - функция полезностей U (x, у) и бюджетного ограничения;

г - функции спроса на товары разного приоритета в зависимости от
дохода I: 0 - малоценные товары; 1(2) - товары первой (второй) необходимости; 3 - предметы роскоши;

д - функции издержек C (q), дохода R (q) и прибы-ли П(q) в зависимости от объема производства q.

В теории потребительского спроса широко используются
функции потребле-ния, когда предпочтения потребителя описываются кривой безразличия U_k = U (x, у), а бюджетное ограничение (расходы потребителя, как правило, меньше или равны его
доходу) в ситуации, когда потребитель тратит весь свой доход на
рассматриваемые блага, определяется зависимостью вида:

xp_x + у р _у = I

где р _x р _y — цены благ х и у, I — доход потребителя.

Чтобы построить графики этих неявно заданных функций,
требуется выразить в явном виде величину у как функцию х для
обеих зависимостей. Если принять простейшую функцию полезностей U (x, у) = ху, то при уровне полезности (благосостояния),
равном U ₀ и дохода I получаем следующие функции:

, .

Как мы знаем, графиком первой функции (кривой безразличия) является гипербола (рис. 3.1,в),а второй
(бюджетного ограничения) — прямая линия, имеющая отрицат-
ельный наклон, равный по модулю относительной цене блага х, точку пересечения с осью ординат А (0; I/ р_y), соответствующую
количеству блага у, которое можно приобрести по цене р_y, на всю величину дохода I.

Известны также функции Торквинста, моделирующие связь между величиной дохода I и величиной спроса х потребителей
, на следующие виды товаров (рис. 3.1,г):малоценные (кривая 0),
товары первой (кривая 1) и второй (кривая 2) необходимости (т. е. относительной роскоши), и предметы роскоши (кривая 3).
Их зависимости имеют соответственно следующий вид:

; ; ; х.

Функции издержек С (q) и дохода R(q) = qp (q) в зависимости от
объема производства q в простейшем случае имеют вид рис. 1.1д,
причем характер функции дохода R (q) определяется функцией
спроса p (q). В типичной ситуации издержки фирмы велики при
небольшом объеме производства q и вначале растут быстрее, чем доход. С увеличением объема производства скорость роста издержек уменьшается и в какой-то момент времени они сравниваются с доходом, и субъект рынка начинает получать прибыль.
При дальнейшем росте объема производства прибыль сначала
увеличивается, достигая максимума при оптимальном значении
q₀, а затем издержки снова начинают расти быстрее, чем доход
(так как эффективные ресурсы исчерпаны и требуются, дополни-
тельные помещения, сырье, квалифицированная рабочая сила,
то прибыль начинает уменьшаться, достигая отрицательных значений при достаточно больших объемах производства).

Применение эластичности в математической экономике. Анализ
взаимосвязи множества различных технико-экономических показателей требует ответа на следующие вопросы:

1) Какие факторы определяют интересующий нас экономический показатель?

2)
Каков знак этой зависимости (положительный или отрицательный)?

3) Какова степень этой зависимости (насколько чувствителен исследуемый экономический показатель кизменению
определяющих его факторов)?

4) Каково числовое (функциональное)
выражение соответствующей зависимости (теоретическое — в
виде формулы, графика или таблицы, или эконометрическое
(эмпирическое) исследование)?

Заметим, анализ чувствительности зависимости функции у = f (х)
базируется на следующих подходах:

1) приростной подход (прирост фактора Δ х → прирост исследуемого показателя Δ у); мера «абсолютной» чувствительности-
это скорость изменения функции (средняя — отношение изменений, или предельная, производная);

2) темповый подход (темп прироста фактора Δ_% х → темп при-
роста исследуемого показателя Δ_% у); напомним, что процентное
изменение какой-либо переменной - это отношение изменения
этой переменной к первоначальному ее значению выраженное в процентах, т. е. Δ х = Δ х / х =
(х ₂ - х ₁)/ х ₁; мера «относительной» чувствительности — эла-
стичность функции — средняя (отношение процентных измене-
ний) или предельная (равная первой производной):

Δ_{% y} Δ_% х → = = f '(х) .

В общем случае эластичностью функции у = f(x) называется
предел отношения относительных изменений переменных у и х. Если эластичность изменения переменной у при изменении
фактора х обозначить через Е_x (у), эластичность примет следую-
щий вид:

E_x (y) = M f A f,

где M f — маржинальное (предельное) значение функции у в точке х;

А f - среднее значение функции у в точке х.

Коэффициент эластичности показывает относительное изменение анализируемого показателя под действием единичного
относительного изменения экономического фактора, от которого он зависит, при сохранении постоянными остальных
влияющих на него факторов.

Геометрическая интерпретация эластичности функции проста
и отображается отношением:

Е _x(у) = ± СВ / СА,

где СА - отрезок касательной от точки С(х, у) до ее пересечения с осью х (см. рис. 3.2).

Если точки А и В лежат по одну сторону от точки С на каса-
тельной, то в формуле ставится «плюс», при этом значение эла-
стичности Е_x (у) > 1 (рис. 3.2,а) или Е_x (у) < 1 (рис. 3.2,б),а если
по разные стороны, то «минус» (рис. 3.2,в).

В дискретном случае, а также при приближенном определении эластичности по дискретному набору данных вычисление
эластичности уже не столь однозначное, как при непрерывном
случае. Здесь неясно, что выбирать в качестве х: первоначальное
значение (х = x ₁); конечное значение (х = х ₂) или среднее зна-
чение [ х = 0,5(x ₁+ х ₂)].

 

Рис. 3.2. Графики эластичности в экономическом анализе:

а — Е_x(у)>1; б — Е_x(у)<1; в — Е_x(у) отрицательна; г — пределы изменения
эластичности; д — модель взимания налога с производителей (налог t = const);
е — модель взимания налога с потребителей.

В зависимости от этого различают:

а) конечную (процентную) эластичность

;

 

б) среднюю (дуговую) эластичность

;

в) логарифмическую эластичность

.

Все эти выражения мало отличаются друг от друга при не-
больших относительных (процентных) изменениях величин х и у.

В экономике выделяются следующие виды эластичности:

1. Эластичность спроса по цене (прямая)

.

Показывает относительное изменение, выраженное в про-
центах, величины спроса q на какой-либо товар при изменении
цены р этого товара на 1% и характеризует чувствительность по-
требителей кизменению цен на продукцию. Если ценовая эластичность спроса по модулю | E_p (q) | > 1, то спрос называют эластичным; если | E_p (q) | < 1, то — неэластичным, если | E_p (q) | =1, то
спрос с единичной эластичностью.

2. Эластичность спроса по доходу I

.

Характеризует относительное изменение (в процентах) вели-
чины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителей этого блага на один процент; если | E_p (q) | > 0, то товары
потребления качественные, если же

| E_p (q) | < 0, то товары мало -
ценные, некачественные; высокий положительный коэффициент спроса по доходу в отрасли указывает ее вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет
шансы на расширение и процветание в перспективе. Напротив,
если этот коэффициент имеет незначительное или отрицатель-
ное значения, то ее может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

3. Перекрестная эластичность спроса по цене

.

Характеризует относительное изменение (в процентах) вели-
чины спроса q на одно благо при изменениях цены на другое
благо, заменяющее или дополняющее его в потреблении, на 1%.
Условие Е_pj(q_i) > 0 свидетельствует о замещаемости благ, а Е_pj(q_i) < 0 — об их дополняемости.

4. Ценовая эластичность ресурсов

Е_pj(R_i) =(дR_i/R_i)/(др_i/р_j)=(дR_i/др_j) (p_i / R_i).

Характеризует относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении
цены этого ресурса (соответственно заработной платы) на 1%;

5. Эластичность замещения одного ресурса другим

Е_Rj(Ri) = (dR_i / R_i)/(dR_j / R_j) =(dR_i / dR_j) (R_j / R_i).

Характеризует необходимые изменения (в процентах) величины одного ресурса (например, капитала) при изменении количества другого ресурса (например, труда) на 1% с тем, чтобы выпуск при этом не изменился.

К основным факторам, определяющим эластичность спроса,
относятся следующие:

а) замещаемость блага в потреблении (эластичность спроса
по цене тем выше, чем выше замещаемость блага);

б) удельный вес в доходе (эластичность спроса по цене тем
выше, чем выше удельный вес расходов на данное благо в доходе потребителя);

в) субъективная необходимость (эластичность спроса по цене

тем выше, чем ниже субъективная необходимость в данном благе);

r) фактор времени (эластичность спроса по цене обычно
выше, чем больше промежуток времени).

Известны следующие теоретические зависимости взаимосвязи эластичности с другими факторами жизни общества:

1. Эластичность выручки от продаж какого-либо товара тесно
связана с эластичностью спроса на этот товар. Используя формулу
выручки R = pq и формулу для эластичности произведения
функций, получаем:

Е_p(R) = Е_p(q) + Е_р(р) = Е_р(q) + 1 = 1 — | Е_р(q) |,

так как эластичность спроса по цене Е_р (q) всегда отрицательна из-за
того, что р '(q)<0. При эластичном спросе выручка растет с ростом
объема или уменьшением цены, а при неэластичном — падает.

2. Связь цены и предельных издержек монополиста такова, что величина надбавки киздержкам s обусловливается величиной эластичности. Если совершенно конкурентная фирма устанавливает цену
на свою продукцию, равную предельным издержкам р_c = MC, то
монополист обычно назначает на свою продукцию цену выше
предельных издержек р_M = МС (1 + s), где s — надбавка к из-
держкам, составляющая 10%, 20% и более. Записывая условие
максимизации прибыли П как разница между выручкой R и из-
держками

С(П = R — С), имеем:

П' — R' — С'= MR — MC = 0,

 

где П' — знак производной от прибыли.

Если вычислить предельную выручку MR и приравнять ее к
предельным издержкам МС, получим соотношение

р = МС/ (1 — 1/ | Е^D |,

где Е^D = р / qp '(q), из которого следует, что надбавка кпредельным издержкам в цене должна быть тем меньше, чем выше эластичность спроса (рис.3.2.г).

Эта формула позволяет объяснить, как происходит сегментация рынка монопольным производителем с целью дискриминации потребителей и извлечения из этого дополнительной прибыли. Если монополист может устойчиво разделить покупателей
по какому-либо признаку на две или большее число групп
(пенсионеров, студентов, работающих и т.п.), то ему выгоднее
установить для различных групп различные цены и, таким образом, сегментировать рынок. При этом суммарная выручка от
продаж на двух и более рынках одного товара (или услуги) будет
максимальна при равенстве предельных доходов от каждого из
рынков (иначе ему будет выгоднее перераспределить объем продаж в пользу рынка с большим предельным доходом).
Таким образом,

MR ₁(1 - 1/ | Е^D₁ |) =p₂ (1 - 1/ | Е^D₂ |) = MR₂.

Отсюда, получаем

р₁/р₂ =(1 - 1 / | Е^D₂ |) / (1 - 1 / | Е^D₁ |).

Следовательно, те покупатели, спрос которых на товар менее
эластичен, платят за него большую цену.

3. Эластичность тесно связана с налоговой политикой и моделями налогов, базирующимися на концепции спроса и предложения. При этом в [50], например, показано, что большее налоговое
бремя падает на экономического агента с меньшей эластичностью, у которого меньше возможностей для ухода от налогового
бремени. В частности, если эластичность спроса равна нулю, то
все налоговое бремя ложится на потребителей, так как независимо от величины налога (а следовательно, и от величины цены)
потребители не изменят объема покупок. Если же спрос на какой-либо товар характеризуется совершенной эластичностью, то
в проигрыше оказывается производитель, так как потребители
уходят от налога, снижая величину спроса и потребляя товары-
заменители (рис. 3.2. д).

Аналогичная ситуация возникает, когда налог формально
взимается с потребителей. В этом случае введение налога приводит к сдвигу кривой спроса влево (к уменьшению объема продаж и цены товара), опять обратно пропорционально эластичностям производителей и потребителей. При этом независимо
от того, кто является формальным плательщиком налога, фактическим плательщиком оказывается экономический агент с
меньшей эластичностью, особенно если эластичность спроса и
предложения сильно различается (рис. 3.2, е).

Рассматривая проблему влияния величины налоговой ставки
на величину налоговой выручки, можно заметить, что эти вели-
чины связаны примерно аналогично зависимости выручки продаж и цены товара. В [50] показано, что налоговая выручка воз-
растает с увеличением налоговой ставки только до тех пор, пока
доля ставки налога в цене товара меньше суммы обратных эластичностей спроса и предложения. Это дает возможность устанавливать высокие ставки налогообложения, существенно превышающие цену товара, на товары, спрос на которые неэластичен (или предложение которых неэластично). Примером этого
служат акцизы на табак и винно-водочные изделия (Самостоятельно «Курс экономической теории» под ред. Сидоровича гл. 4-35).

назад