Студопедия — Применение производственных функций в макро- и микроэкономике
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Применение производственных функций в макро- и микроэкономике







Понятие производственной функции. Производственная функция одной переменной Y = f(x) функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого
ресурса (фактора производства), а зависимая переменная-
значения объемов выпускаемой продукции. В связи с этим производственная функция (ПФ) f называется одноресурсной, или однофакторной ПФ, ее область определения — множество неотрицательных действительных чисел. Запись у = f(x) означает, что
если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц, то продукция выпускается в количестве у = f (х) единиц.
Символ f (знак функции) является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэкономике считают, что у — это максимально возможный объем
выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется
в количестве х единиц. В макроэкономике такое понимание не
совсем корректно, так как при ином распределении ресурсов
между структурными единицами экономики выпуск может быть
иным, поэтому ПФ — это статистически устойчивая связь между
затратами ресурса и выпуском. Более правильной считается запись
у = f (х, а)
, где а вектор параметров ПФ.


Рассмотрим простую ПФ вида f (х) = ахb, где х величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) объем
выпускаемой продукции (например, число готовых деталей), величины а и b параметры ПФ. Из графика (рис. 5.4, а) следует,
что с ростом величины затрачиваемого ресурса х объем выпуска
у
растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции. Это обстоятельство (рост объема выпуска у и уменьшение
прироста объема Δ у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории, подтвержденное на
практике и называемое законом убывающей эффективности.

ПФ имеют различные области использования с реализацией
принципа «затраты - выпуск» как на микро-, так и на макро-
уровне. Микроэкономические ПФ используются для описания
взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течение определенного времени и выпуском
продукции у, осуществляемым конкретным субъектом хозяйствования.

Макроэкономические ПФ можно использовать для описания
взаимосвязей между годовыми затратами труда в масштабе ре-
гиона или страны и годовым конечным выпуском продукции
(или дохода) этого региона или страны в целом, а также для ре-
шения задач анализа, планирования и прогнозирования.
На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут изме-
ряться в натуральных или в стоимостных единицах и показате-
лях; например, годовые затраты труда — в человеко-часах (объем
человеко-часов — натуральный показатель) или в рублях выпла-
ченной заработной платы (ее величина — стоимостной показа-
тель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или
других натуральных единицах (тоннах, метрах и т. п.) или в виде
своей стоимости. На макроэкономическом уровне затраты и вы-
пуск измеряются обычно в стоимостных показателях, представ-
ляя собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т. е. суммарные
величины произведений объемов затрачиваемых (или исполь-
зуемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Рис. 5.4. Производственные функции в экономике:

а — график ПФ у = ax b;

б (в) — график ПФ у = ао х1a1 х2a2 (a1 + а2 = 1) (фрагмент графика);

г — ПФ вида Кобба — Дугласа;

дПФ вида линейной функции; l qi — изокванты

Производственная функция нескольких переменных — это
функция вида

у = f (х) = f1,..., хn, а), независимые переменные хj
которой принимают значения объемов затрачиваемых или ис-
пользуемых ресурсов (число переменных n равно числу ресур-
сов), а значение функции имеет величину объемов выпуска; -
a
- векторпараметров. В связи с этим такие производственные функции называются многоресурсными или многофакторными.
Для отдельного субъекта хозяйствования, выпускающего одно-
родный продукт, ПФ f (x 1 ,..., х n) могут связывать объем выпуска
(в натуральном или стоимостном выражении) с затратами рабо-
чего времени по различным видам трудовой деятельности, ком-
плектующих изделий, энергии, основного капитала, измеряемым
обычно в натуральных единицах (производственные функции
такого типа характеризуют действующие технологии субъектов
хозяйствования).

 

Рис. 5.4 б. График и листинг кода ПФ - в Mathcad (a1 + а2 = 1).

 

При построении ПФ для отдельного региона или страны в
целом в качестве величины годового выпуска у (объемы выпуска
или дохода на макроуровне обозначаются большой буквой) чаще
всего берут совокупный продукт (доход) региона или страны,
исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в
качестве ресурсов рассматривают:

основной капитал K (х 1) -
объем используемого в течение года основного капитала;

живой
труд L (x 2) - количество единиц затрачиваемого в течение года
живого труда, исчисляемые обычно в стоимостном выражении.


В результате строят двухфакторную ПФ f (х 1, х 2), или Y= f (K, L).
Далее от двухфакторных производственных функций переходят
ктрехфакторным, при этом в качестве третьего фактора иногда
вводятся объемы используемых природных ресурсов. Кроме то-
го, если производственные функции строятся по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства
можно включить технический прогресс.


ПФ у = f (х 1, х 2) называется статической, если ее параметры
и характеристика не зависят от времени t (хотя объемы ресур-
сов и объем выпуска могут зависеть от времени t), т. е. можно
иметь представление в виде временных рядов:

х 1(0), х1(1),...,
х
1(7); х 2(0), х 2(1),..., х 2(T); у (0), у (1),..., у (T); у (t) = f (х 1(t), x 2(t))

здесь t — номер года, t = 0,1,..., Т; t = 0 базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1, 2,..., Т.

Пример 1.2. Для моделирования проблем отдельного региона или
страны в целом и решения задач как на макро-, так и на микроэкономическом уровне часто используется производственная функция Коб-
ба — Дугласа (сокращенно обозначаемая в дальнейшем ПФКД):

у =a0x1a1x2a2

где а0, а1, а2 параметры ПФ, являющиеся положительными постоянными числами, причем часто а1 и а2 таковы, что а1 + а2 = 1.

В практических приложениях ПФКД обычно х1 равняется объему
используемого основного капитала или объему используемых основных

фондов К (x 1= K), х2 = L — затратам живого труда, тогда она приобре-
тает вид:

Y = a0Ka1 La2.

Графиком ПФ вида у = a0x 1 a1 x2 a2 (a1 + а2 = 1) в трехмерном про-
странстве выступает двумерная поверхность Г (рис.1.4,б), являющаяся
конической поверхностью, направляющей которой служит линия L, а
образующими — лучи, выходящие из точки 0. Пусть х2 = х20 > 0, тогда
у = (a0 (х20) a2) x 1 a1, и мы получаем вариант мультипликативной ПФ, ан
алогичный рассмотренному выше (рис. 5.4.в),причем линия G
пересечение поверхности Г вертикальной плоскостью x 2 = х20. Поведе-
ние линии G отражает факт, что с ростом затрат первого ресурса объем
выпуска у растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса
обеспечивает все меньший прирост выпуска Δ у (например, если число
работников и их квалификация остаются неизменными, а число обслу-
живаемых ими станков, которое уже достаточно велико, увеличивается,
скажем, в два раза, то это не ведет кдвойному росту объема выпуска).
Отметим, что если а1 + a2 < 1, то графиком Г ПФКД является поверх-
ность, которая напоминает выпуклую вверх «горку», крутизна которой
падает, если точка (х1, х2) перемещается на «северо-восток» по коорди-
натной плоскости.

Пример 5.3. Пусть линейные аддитивные ПФ имеют вид: у = a0 +
+ a1х 1 + a2x2 (двухфакторная) и у = a0 + a1х 1+...+ anxn (многофакторная).
Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с
помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипли-
кативной ПФ у = a0x 1 a1 x2 a2 этот переход имеет вид: ln у = ln a0 + а1ln х 1+...
+ a 2ln х 2. Полагая ln у = w, ln х 1 = v 1, и ln х 2 = v 2, получаем аддитивную
ПФ вида w = ln а 0+ a 1 v 1+ a 2 v 2. Выполняя обратный переход из аддитивной ПФ, можно получить мультипликативную производственную
функцию. Если сумма показателей степени в ПФКД у = a0Ka1La2 равна
единице (a 1 + a 2 =1), то ее можно записать в несколько иной форме:

Y/L = а0Ka 1 La 1 /L = а0Ka 1 /L (1-a 2) = а0Ka 1 / La 1 = а0 (К / L) a 1.

Дроби Y / L = z и К / L = k называются соответственно произ-
водительностью труда
и капиталовооруженностью труда. Ис-
пользуя новые символы, получим z = а0ka 1, т. е. из двухфактор-
ной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД
(0 < а 1< 1), откуда следует, что производительность труда рас-
тет медленнее его капиталовооруженности
(этот вывод справед-
лив для случая статической ПФКД в рамках существующих тех-
нологии и ресурсов).

Обратная дробь Y/К называется производительностью капи-
тала,
или капиталоотдачей, а обратные дроби К / Y и L / Y назы-
ваются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью вы-
nycкa продукции.

ПФ называется динамической, если:

а) время t фигурирует в
качестве самостоятельного фактора производства, влияющего на
объем выпускаемой продукции;

б) параметры ПФи ее характе-
ристика f зависят от времени t, если параметры ПФоценивают-
ся по данным временных рядов (объем ресурсов и выпуска) про-
должительностью Т 0 лет (т. е. базовый промежуток для оценки
параметров имеет продолжительность Т 0 лет), то экстраполяцию
по такой производственной функции следует рассчитывать не
более чем на Т0/ 3лет вперед (т. е. промежуток экстраполяции
должен иметь продолжительность не более чем Т 0 / 3лет).

При построении ПФвлияние НТП учитывается множителем
е pt, где р (р > 0) — характеризующий темп прироста выпуск,
осуществляемый под влиянием НТП:

у (t) = е pt f (х 1(t), x 2(t)),

 

где t = 0, 1,..., Т.

Данная ПФ — простейшая динамическая ПФ,содержащая
нейтральный (не материализованный в одном из факторов) технический прогресс. В сложных случаях НТП,выступающий как
трудо- или капиталосберегающий фактор, может воздействовать
непосредственно на производительность и капиталоотдачу:

Y (t) = f А (t)* L (t), K (t));

Y(t) = f (А (t)* K(t), L (t)).

В целом выбор аналитической формы ПФ у = f (х 1, х 2) обу-
словливается теоретическими соображениями учета особенно-
стей взаимосвязей между конкретными ресурсами (при микроэкономическом уровне), особенностей параметризации (реальных
или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ). Отметим,что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

Предельные (маржинальные) и средние
значения производственных функций. Формальные свойства
. Производственная функция
f
(х 1, х 2) должна удовлетворять ряду свойств:

а) без ресурсов
нет выпуска;

б) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем
выпуска растет;

в) с ростом затрат одного (i -гo) ресурса при не-
изменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i- го ресурса не растет
(закон убывающей эффективности);

г) производственная функ-
ция является однородной функцией степени р > 0: при р > 1 с
ростом масштаба производства в t раз (t > 1) объем выпуска воз-
растает в tp раз (т. е. имеем рост эффективности производства
при росте масштаба производства); при р < 1 имеем падение
эффективности производства от роста масштаба производства;
при р = 1 - постоянную эффективность производства при рос-
те его масштаба или независимость удельного выпуска от мас-
штаба производства.

Заметим, что для ПФКД вида у = а0х 1 a 1* х 2 a 2(а 1 2= 1) свойст-
ва а - г выполняются. Для линейной же ПФ вида у = а0 + а 1 х 1+ а 2 х 2
*(а0 > 0, а 1> 0, а 2> 0) ряд свойств (а (при а0 = 0) и г не выпол-
няются).

Линия lq уровня q = f (х 1, х 2)(q > 0 — действительное число)
ПФ у = f (х 1, х 2) называется изоквантой, т. е. множеством точек, в
котором ПФ постоянна и равна q. Различные наборы (v 1, v 2) и (w 1,
w 2) затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие
одной и той же изокванте lq (q = f (v 1, v 2) = f (w 1,
w 2), дают один
и тот же объем выпуска q.

Извида изоквант lq1 и lq2 ПФКДвида у = а0х 1 a 1 х 2 a 2и линейной ПФ у = а0 + а 1 х 1+ а 2 х 2 (рис. 5.4, г, д) следует, что изокванта lq2, расположенная северо-восточнее» изокванты lq1, соответствует большему объему выпуска (т. е. q 2 > q 1). Если объ-
емиспользуемого основного капитала К неограниченно растет,
то затраты труда неограниченно убывают.

При n = 2 для любой ПФ со свойствами а г, изокванта (если
она не является прямой) есть линия (не обязательно гладкая),
которая выпукла к точке 0 (линия, которая похожа на изокванту
lq; если график ПФ похож на выпуклую горку, то естественно,
что ее изокванты есть линии, выпуклые кточке 0).

Дробь А i = f (х)/ х i (i = 1,2) называется средней производительностью i -го ресурса (фактора производства), или средним, выпуском по i -му ресурсу (фактору производства).

Придвухфакторной ПФКД Y = а 0 Ка 1 Lа 2 для средних про-
изводительностей основного капитала Y/К и труда Y/L исполь-
зуются понятия соответственно капиталоотдача и производи-
тельность труда
(они применяются для любых двухфакторных
ПФ,у которых х 1 = К, х 2 = L).

Первая частная производная от ПФ вида f1, х 2), имею-
щая вид

М i = д f (х) /дх i (i = 1,2),

называется предельной, или маржинальной производительностью
i
-го ресурса (фактора производства), или предельным выпуском по
i -му ресурсу (фактору производства).

Предельная производительность ресурса приближенно показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если
объем затрат х i i -го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого
ресурса. Здесь предельную величину М i целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин Δ f (x) и Δ x i.

Пример 5.4. Для ПФКД вида у = a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 найти в явном виде сред-
ние и предельные значения А 1 А 2, М 1, М 2заданной функции.

Р е ш е н и е. Известны следующие формулы расчета:

А i = f (х)/ х i,
Мi = д f (x)/дх i, i= 1,2;

подставляя значения, имеем:

А 1 = f (х)/ х 1 = а 0 х 1 a 1-1 х 2 a 2;

А 2 = f (х)/ х 2 = а 0 х 1 a 1 х 2 a 2-1

М 1 = д f (x)/дх 1 = а 0 х 1 a 1-1 х 2 a 2 а 1 = а 1 А 1 ,

М2 = д f (x)/дх 2 = а 0 х 1 a 1 х 2 a 2-1 а 2 = а 2 А 2.

Если а 1< 1, то М i< А i, так как М i/ А i = а i. Таким образом, получаем, что преде-льная производительность i -го ресурса не больше средней производительности этого ресурса.

Пример 5.5. Для линейной ПФ вида у = а 0+ а 1 х 1+ а 2 х 2(а i > 0)
найти в явном виде средние и предельные значения А 1, А 2, М 1и М 2.

Р е ш е н и е. По аналогии с рассмотренным выше примером имеем:

A 1 = f (х)/ х 1= а 0/ х 1 + а 1+ а2х2/х 1,

A 2 = f (х)/х2 = а0/ х 2+ а1х12 + а 2,

М 1 = д f (х)/дх 1 = a 1; М 2 = д f (х)/дх 2 = a 2 .

Отсюда имеем, что если М i/ А i ;1, то М i ; А i.

Отношение предельной производительности М i i-го ресурса
к его средней производительности А i называется (частной) эластичностью выпуска no i-му ресурсу (по фактору производства), т. е.

Е i = М i/ А i = д f (х)/дх i / (х)/ х i = д f (х)/дхi * х i / f (х).

Сумма Е 1+ Е2 = Е x называется эластичностью производства.

Эластичность выпуска по 1-му фактору производства Е, при-
ближенно показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у,
если затраты i -го ресурса увеличатся на один процент при неиз-
менных объемах другого ресурса. Пояснение выражения Еi, со-
держащего предельную величину df (х)/ i с помощью выраже-
ния, содержащего конечное приближение этой предельной ве-
личины, является ключевым в понимании сути частной эла-
стичности выпуска по i -му ресурсу.

Пример 5.6. Выписать в явном виде для ПФКД выражения для эластичностей Е 1, Е 2 и Е x. Р е ш е н и е. Для ПФКД вида имеем:

Еi= Мii= df(х)/dхi/f(х)/хi = df(х)/dхi*хi/f(х).

Как следует из результатов, полученных в примере 1.4, составляющие эластичности равны:

Подставив эти выражения в формулу частной эластичности, получим:

Е 1 = M1/ A1 = а1А11 = а1; Е2 = М22= а2А22 = а2,

Еx = Е1 + Е2 = а1 + а2.

Пример 5.7. Для линейной ПФ вида у = а1х1 + a2x2 0 = 0) выпи-
сать в явном виде выражения для эластичностей Е 1, Е 2 и Е x.

Р е ш е н и е. Аналогично вышеприведенному примеру 1.6 имеем:

Еi= Мii= df(х)/dхi/f(х)/хi = df(х)/dхi*хi/f(х).

Тогда получаем:

Е 1 = M1/ A1 = а1/(а1+a2x2/x1 = а1x1/(a1x1+a2x2);

Е2 = М22= а2/(а1x1/x2+a2) = а2x2/(a1x1+a2x2);

Еx = Е1 + Е2 = (а1x1 + а2x2)/(а1x1 + а2x2)=1

 

Предельной технологической нормой замены (замещения) i -го
ресурса (фактора производства) j -м ресурсом Rij называется выражение) при постоянной у.

Пусть выпуск у является постоянным (т. е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда
первый полный дифференциал производственной функции вида
y
= f (х) равен:

 

где д х1, д х2 — дифференциалы переменных х1, х2.

Выразив первый дифференциал и поделив его на , по-
лучим:

(i=j, i=1,2).

Для двухфакторной ПФ справедливо равенство:

R12 = ,

т.е. предельная норма замены первого ресурса вторым равна
отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса.

Если х 1= К, х 2= L, то отношение х 1/ х 2= К / L называется ка-
питаловооруженностью труда. В этом случае предельная норма
замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на
капиталовооруженность труда.

При двухфакторной ПФ, постоянном выпуске у и малых
приращениях ∆ х 1 и ∆ x 2 имеет место следующее приближенное
равенство:

R 12 = - 2 / dx 1 = -∆ х 2/∆ x1.

На основании этого равенства имеем, что предельная норма
замены ресурсов R 12 приближенно показывает, на сколько еди-
ниц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном вы-
пуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну
(малую) единицу (рис. 1.5, а), откуда следует, что чем круче ка-
сательная к изокванте l q в точке (х1, х2), тем больше выражение
dx2 /dx1 и, следовательно, тем больше норма замены R 12 первого ресурса вторым.

Пример 5.8. Для ПФКД вида у = а0х1aх2a и линейной производст-
венной функции вида у = а0 + а1х1 + а2х2 записать в явном виде выра-
жения R 12 и R 21.

Решение. Так как R ij = dx j/ dx i= дf (х)/ д хj/ дf (х)/ д хi, то, взяв соответствующие производные и упростив выражения, можно записать
следующее:

 

Производственные функции в темповой форме записи, типа
CES и эластичность замещения ресурсов
. Наряду со связями объ-
емных показателей выпуска и затрат ресурсов анализ связи меж-
ду темпами прироста этих показателей может вестись с введени-
ем производственных функций, отображаемых в темповой фор-
ме записи. Например, ПФ в темповой записи имеет вид:

у= f (k, l),

 

где k, l — темпы прироста соответственно затрат капитала и труда.

ПФКД в объемных показателях соответствует следующая линейная зависимость темпов прироста, называемая ПФКД в темповой записи:

yt = α k t + λl t + ν,

 

где α, λ и ν — соответственно интенсивности использования ресурсов за-
трат капитала К, затрат труда L, темпа нейтрального НТП (та часть темпа
прироста выпуска, которая не связана с приростом затрат капитала и тру-
да, а отражает интенсификацию производства на макроуровне).

Пример 5.9. Пусть, например, получена следующая формула произ-
водственной функции в темповой записи: у t = 0,З k t + 0,6 l t + 1,5. При
этом средний темп прироста затрат труда lt составил 1%, средний темп
прироста используемого капитала k t — 6%, а средний темп прироста
выпуска у t — 3,9%. Оценить вклад экстенсивных и интенсивных факто-
ров производства.

Р е ш е н и е. Вклад экстенсивных факторов (прироста затрат ка-
питала и труда) составляет соответственно: 0,3*6% = 1,8% и 0,6*1%
=0,6%. Вклад интенсивных факторов (научно-технического прогресса)
составляет 1,5 процентных пункта, или 1,5/3,9*100% = 38,5%.


Рис. 5.5. Применение производственных функций:

Наиболее известным обобщением ПФКД является функция
с постоянной эластичностью замещения (Constant Elasticity Sub-
stitution — CES). Эластичность замещения ресурсов, или факто-
ров, G — это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ
(если говорить точнее, тo «кривизну» изоквант измеряет вели-
чина 1/G).

Эластичность замещения труда капиталом GLK показывает:

GLK=d[ln(К/L))/d[ln(Y'L/Y'K],

 

на сколько процентов изменится капиталовооруженность (К/L)
при изменении предельной нормы замены труда капиталом
MRSKL на 1%:

MRSKL= -dК/dL = Y'L/Y'K

а — предельные и средние значения ПФ; б — эластичность замещения факторов по изокванте; в - е — ПФ различного вида: линейная (в), Кобба — Дугласа
(г), Леонтьева (д), функции CES (е).

Если изобразить одну из изоквант (линий уровня с Y = const)
ПФ на плоскости KL (см. рис. 1.5, б), обозначив ее цифрой 1, то
предельная норма замены в точке А — это тангенс угла наклона
этой изокванты, т.е. tg(α). При перемещении из точки А в точку
В по изокванте наклон касательной меняется, меняется и соот
ношение (K / L). Это соотношение постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координат (например, прямых
2 и 3). Величина 1/G показывает относительное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу изменения отношения (К / L). Чем сильнее меняется наклон линии
уровня при переходе, скажем, из точки А в точку В (с прямой
2 на прямую 3), тем больше «кривизна» линии уровня (на рис. 1.5,
в - е приведен ряд линий уровня ПФ вида: в — линейной Y = аК + bL
+с (линейной), г — ПФКД, д — ПФ с бесконечной эластичностью
замещения Y = min(аК,bL) (функция Леонтьева), е --
производственной функции типа CES).

Линейная ПФ имеет нулевую «кривизну» и соответственно
бесконечную эластичность замещения у. ПФКД имеет эластичность замещения, равную единице. Функция Леонтьева имеет
нулевую эластичность замещения: ресурсы в ней должны ис-
пользоваться в заданной пропорции и не могут замещать друг
друга. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не
только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замещения.

Рассмотрим особенности оценки производственной функции
с постоянной (но произвольной) эластичностью замещения —
функции CES, описываемой следующей зависимостью:

Y = А(uK-p + (1 — u) L-p)-n/p,

где р > - 1; n > 0 — степень однородности; А > 0; 0 < и < 1.

Эластичность замещения для такой функции равна:

ER =1/(1 + р).

Если р=-1, то получаем функцию с линейными изоквантами
(в частности, линейную), при р→0 в пределе получаем производ-
ственную функцию Кобба — Дугласа с G = 1, а при р →∞ — про-
изводственную функцию Леонтьева. Например, развитие экономики СССР описывалось следующими оценками линейно-
однородной функции CES, полученными под руководством А.Г. Гринберга за 1960 — 1985 гг.:


а) без учета технического прогресса

Y = 1,002(0,64121*К-0,81+ 0,3588L-0,81)-1/0,81;

R 2 = 0,9984; DW = 1,58;

б) с учетом технического прогресса

Y = 0,966(0,4074 К -3.03 + 0,5926 L- 3,03)- 1/ 3,030,0252t;

R2 = 0,9982; DW =1,76.

С точки зрения статистик R2 и DW обе зависимости получились значимыми при разных оценках показателя эластичности
замещения G (G = 1/(1 + р)). В целом оценка эластичности замещения зависела от конкретной специфики и составляла около
0,4, что говорит о невысокой степени взаимозаменяемости труда
и капитала (в функции Кобба — Дугласа предполагается, что эластичность замещения у априори составляет единицу). Ошибочность исходной гипотезы о степени взаимозаменяемости факторов может служить причиной недостаточной статистической
значимости оценок производственной функции Кобба — Дугласа.
Более подробно разновидности данного класса моделей рас-
смотрены в книге - Шелобаев «Математические методы и модели».

Самостоятельно: экономико-математические методы, относящиеся к оптимальным методам принятия решений на основе
моделей математического программирования (С.И. Шелобаев «Математические методы и модели» - глава вторая - математические модели оптимизации ресурсов и принятия решений; Б. Банди «Методы оптимизации. Вводный курс» - часть вторая).

 

назад







Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 2435. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Демографияда "Демографиялық жарылыс" дегеніміз не? Демография (грекше демос — халық) — халықтың құрылымын...

Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей   Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия