Применение производственных функций в макро- и микроэкономике

Понятие производственной функции. Производственная функция одной переменной Y = f(x) — функция, независимая переменная которой принимает значения объемов затрачиваемого
ресурса (фактора производства), а зависимая переменная-
значения объемов выпускаемой продукции. В связи с этим производственная функция (ПФ) f называется одноресурсной, или однофакторной ПФ, ее область определения — множество неотрицательных действительных чисел. Запись у = f(x) означает, что
если ресурс затрачивается или используется в количестве х единиц, то продукция выпускается в количестве у = f (х) единиц.
Символ f (знак функции) является характеристикой производственной системы, преобразующей ресурс в выпуск. В микроэкономике считают, что у — это максимально возможный объем
выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется
в количестве х единиц. В макроэкономике такое понимание не
совсем корректно, так как при ином распределении ресурсов
между структурными единицами экономики выпуск может быть
иным, поэтому ПФ — это статистически устойчивая связь между
затратами ресурса и выпуском. Более правильной считается запись
у = f (х, а), где а — вектор параметров ПФ.

Рассмотрим простую ПФ вида f (х) = ах^b, где х — величина затрачиваемого ресурса (например, рабочего времени), f(x) — объем
выпускаемой продукции (например, число готовых деталей), величины а и b — параметры ПФ. Из графика (рис. 5.4, а) следует,
что с ростом величины затрачиваемого ресурса х объем выпуска
у растет, однако при этом каждая дополнительная единица ресурса дает все меньший прирост объема у выпускаемой продукции. Это обстоятельство (рост объема выпуска у и уменьшение
прироста объема Δ у с ростом величины х) отражает фундаментальное положение экономической теории, подтвержденное на
практике и называемое законом убывающей эффективности.

ПФ имеют различные области использования с реализацией
принципа «затраты - выпуск» как на микро-, так и на макро-
уровне. Микроэкономические ПФ используются для описания
взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течение определенного времени и выпуском
продукции у, осуществляемым конкретным субъектом хозяйствования.

Макроэкономические ПФ можно использовать для описания
взаимосвязей между годовыми затратами труда в масштабе ре-
гиона или страны и годовым конечным выпуском продукции
(или дохода) этого региона или страны в целом, а также для ре-
шения задач анализа, планирования и прогнозирования.
На микроэкономическом уровне затраты и выпуск могут изме-
ряться в натуральных или в стоимостных единицах и показате-
лях; например, годовые затраты труда — в человеко-часах (объем
человеко-часов — натуральный показатель) или в рублях выпла-
ченной заработной платы (ее величина — стоимостной показа-
тель); выпуск продукции может быть представлен в штуках или
других натуральных единицах (тоннах, метрах и т. п.) или в виде
своей стоимости. На макроэкономическом уровне затраты и вы-
пуск измеряются обычно в стоимостных показателях, представ-
ляя собой стоимостные (ценностные) агрегаты, т. е. суммарные
величины произведений объемов затрачиваемых (или исполь-
зуемых) ресурсов и выпускаемых продуктов на их цены.

Рис. 5.4. Производственные функции в экономике:

а — график ПФ у = ax ^b;

б (в) — график ПФ у = а_о х₁^a1 х₂^a2 (a₁ + а₂ = 1) (фрагмент графика);

г — ПФ вида Кобба — Дугласа;

д — ПФ вида линейной функции; l _qi — изокванты

Производственная функция нескольких переменных — это
функция вида

у = f (х) = f (х₁,..., х_n, а), независимые переменные х_j
которой принимают значения объемов затрачиваемых или ис-
пользуемых ресурсов (число переменных n равно числу ресур-
сов), а значение функции имеет величину объемов выпуска; -
a - векторпараметров. В связи с этим такие производственные функции называются многоресурсными или многофакторными.
Для отдельного субъекта хозяйствования, выпускающего одно-
родный продукт, ПФ f (x ₁ ,..., х _n) могут связывать объем выпуска
(в натуральном или стоимостном выражении) с затратами рабо-
чего времени по различным видам трудовой деятельности, ком-
плектующих изделий, энергии, основного капитала, измеряемым
обычно в натуральных единицах (производственные функции
такого типа характеризуют действующие технологии субъектов
хозяйствования).

 

Рис. 5.4 б. График и листинг кода ПФ - в Mathcad (a₁ + а₂ = 1).

 

При построении ПФ для отдельного региона или страны в
целом в качестве величины годового выпуска у (объемы выпуска
или дохода на макроуровне обозначаются большой буквой) чаще
всего берут совокупный продукт (доход) региона или страны,
исчисляемый обычно в неизменных, а не в текущих ценах, в
качестве ресурсов рассматривают:

основной капитал K (х ₁) -
объем используемого в течение года основного капитала;

живой
труд L (x ₂) - количество единиц затрачиваемого в течение года
живого труда, исчисляемые обычно в стоимостном выражении.

В результате строят двухфакторную ПФ f (х ₁, х ₂), или Y= f (K, L).
Далее от двухфакторных производственных функций переходят
ктрехфакторным, при этом в качестве третьего фактора иногда
вводятся объемы используемых природных ресурсов. Кроме то-
го, если производственные функции строятся по данным временных рядов, то в качестве особого фактора роста производства
можно включить технический прогресс.

ПФ у = f (х ₁, х ₂) называется статической, если ее параметры
и характеристика не зависят от времени t (хотя объемы ресур-
сов и объем выпуска могут зависеть от времени t), т. е. можно
иметь представление в виде временных рядов:

х ₁(0), х₁(1),...,
х ₁(7); х ₂(0), х ₂(1),..., х ₂(T); у (0), у (1),..., у (T); у (t) = f (х ₁(t), x ₂(t))

здесь t — номер года, t = 0,1,..., Т; t = 0 — базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1, 2,..., Т.

Пример 1.2. Для моделирования проблем отдельного региона или
страны в целом и решения задач как на макро-, так и на микроэкономическом уровне часто используется производственная функция Коб-
ба — Дугласа (сокращенно обозначаемая в дальнейшем ПФКД):

у =a₀x₁^a1x₂^a2

где а₀, а₁, а₂ — параметры ПФ, являющиеся положительными постоянными числами, причем часто а₁ и а₂ таковы, что а₁ + а₂ = 1.

В практических приложениях ПФКД обычно х₁ равняется объему
используемого основного капитала или объему используемых основных

фондов К (x ₁= K), х₂ = L — затратам живого труда, тогда она приобре-
тает вид:

Y = a₀K^a1 L^a2.

Графиком ПФ вида у = a₀x ₁ ^a1 x₂ ^a2 (a₁ + а₂ = 1) в трехмерном про-
странстве выступает двумерная поверхность Г (рис.1.4,б), являющаяся
конической поверхностью, направляющей которой служит линия L, а
образующими — лучи, выходящие из точки 0. Пусть х₂ = х₂⁰ > 0, тогда
у = (a₀ (х₂⁰) ^a2) x ₁ ^a1, и мы получаем вариант мультипликативной ПФ, ан
алогичный рассмотренному выше (рис. 5.4.в),причем линия G —
пересечение поверхности Г вертикальной плоскостью x ₂ = х₂⁰. Поведе-
ние линии G отражает факт, что с ростом затрат первого ресурса объем
выпуска у растет, но каждая дополнительная единица первого ресурса
обеспечивает все меньший прирост выпуска Δ у (например, если число
работников и их квалификация остаются неизменными, а число обслу-
живаемых ими станков, которое уже достаточно велико, увеличивается,
скажем, в два раза, то это не ведет кдвойному росту объема выпуска).
Отметим, что если а₁ + a2 < 1, то графиком Г ПФКД является поверх-
ность, которая напоминает выпуклую вверх «горку», крутизна которой
падает, если точка (х₁, х₂) перемещается на «северо-восток» по коорди-
натной плоскости.

Пример 5.3. Пусть линейные аддитивные ПФ имеют вид: у = a₀ +
+ a₁х ₁ + a₂x₂ (двухфакторная) и у = a₀ + a₁х ₁+...+ a_nx_n (многофакторная).
Переход от мультипликативной ПФ к аддитивной осуществляется с
помощью операции логарифмирования. Для двухфакторной мультипли-
кативной ПФ у = a₀x ₁ ^a1 x₂ ^a2 этот переход имеет вид: ln у = ln a₀ + а₁ln х ₁+...
+ a ₂ln х ₂. Полагая ln у = w, ln х ₁ = v ₁, и ln х ₂ = v ₂, получаем аддитивную
ПФ вида w = ln а ₀+ a ₁ v ₁+ a ₂ v ₂. Выполняя обратный переход из аддитивной ПФ, можно получить мультипликативную производственную
функцию. Если сумма показателей степени в ПФКД у = a₀K^a1L^a2 равна
единице (a ₁ + a ₂ =1), то ее можно записать в несколько иной форме:

Y/L = а₀K^{a 1} L^{a 1} /L = а₀K^{a 1} /L ^{(1-a 2)} = а₀K^{a 1} / L^{a 1} = а₀ (К / L) ^{a 1}.

Дроби Y / L = z и К / L = k называются соответственно произ-
водительностью труда и капиталовооруженностью труда. Ис-
пользуя новые символы, получим z = а₀k^{a 1}, т. е. из двухфактор-
ной ПФКД получим формально однофакторную ПФКД
(0 < а ₁< 1), откуда следует, что производительность труда рас-
тет медленнее его капиталовооруженности (этот вывод справед-
лив для случая статической ПФКД в рамках существующих тех-
нологии и ресурсов).

Обратная дробь Y/К называется производительностью капи-
тала, или капиталоотдачей, а обратные дроби К / Y и L / Y назы-
ваются соответственно капиталоемкостью и трудоемкостью вы-
nycкa продукции.

ПФ называется динамической, если:

а) время t фигурирует в
качестве самостоятельного фактора производства, влияющего на
объем выпускаемой продукции;

б) параметры ПФи ее характе-
ристика f зависят от времени t, если параметры ПФоценивают-
ся по данным временных рядов (объем ресурсов и выпуска) про-
должительностью Т ₀ лет (т. е. базовый промежуток для оценки
параметров имеет продолжительность Т ₀ лет), то экстраполяцию
по такой производственной функции следует рассчитывать не
более чем на Т₀/ 3лет вперед (т. е. промежуток экстраполяции
должен иметь продолжительность не более чем Т ₀ / 3лет).

При построении ПФвлияние НТП учитывается множителем
е ^pt, где р (р > 0) — характеризующий темп прироста выпуск,
осуществляемый под влиянием НТП:

у (t) = е ^pt f (х ₁(t), x ₂(t)),

 

где t = 0, 1,..., Т.

Данная ПФ — простейшая динамическая ПФ,содержащая
нейтральный (не материализованный в одном из факторов) технический прогресс. В сложных случаях НТП,выступающий как
трудо- или капиталосберегающий фактор, может воздействовать
непосредственно на производительность и капиталоотдачу:

Y (t) = f А (t)* L (t), K (t));

Y(t) = f (А (t)* K(t), L (t)).

В целом выбор аналитической формы ПФ у = f (х ₁, х ₂) обу-
словливается теоретическими соображениями учета особенно-
стей взаимосвязей между конкретными ресурсами (при микроэкономическом уровне), особенностей параметризации (реальных
или экспертных данных, преобразуемых в параметры ПФ). Отметим,что оценка параметров ПФ обычно проводится с помощью метода наименьших квадратов.

Предельные (маржинальные) и средние
значения производственных функций. Формальные свойства. Производственная функция
f (х ₁, х ₂) должна удовлетворять ряду свойств:

а) без ресурсов
нет выпуска;

б) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем
выпуска растет;

в) с ростом затрат одного (i -гo) ресурса при не-
изменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i- го ресурса не растет
(закон убывающей эффективности);

г) производственная функ-
ция является однородной функцией степени р > 0: при р > 1 с
ростом масштаба производства в t раз (t > 1) объем выпуска воз-
растает в t^p раз (т. е. имеем рост эффективности производства
при росте масштаба производства); при р < 1 имеем падение
эффективности производства от роста масштаба производства;
при р = 1 - постоянную эффективность производства при рос-
те его масштаба или независимость удельного выпуска от мас-
штаба производства.

Заметим, что для ПФКД вида у = а₀х ₁ ^{a 1}* х ₂ ^{a 2}(а ₁ +а ₂= 1) свойст-
ва а - г выполняются. Для линейной же ПФ вида у = а₀ + а ₁ х ₁+ а ₂ х ₂
*(а₀ > 0, а ₁> 0, а ₂> 0) ряд свойств (а (при а₀ = 0) и г не выпол-
няются).

Линия lq уровня q = f (х ₁, х ₂)(q > 0 — действительное число)
ПФ у = f (х ₁, х ₂) называется изоквантой, т. е. множеством точек, в
котором ПФ постоянна и равна q. Различные наборы (v ₁, v ₂) и (w ₁,
w ₂) затрачиваемых (используемых) ресурсов, принадлежащие
одной и той же изокванте lq (q = f (v ₁, v ₂) = f (w ₁,
w ₂), дают один
и тот же объем выпуска q.

Извида изоквант lq₁ и lq₂ ПФКДвида у = а₀х ₁ ^{a 1} х ₂ ^{a 2}и линейной ПФ у = а₀ + а ₁ х ₁+ а ₂ х ₂ (рис. 5.4, г, д) следует, что изокванта lq₂, расположенная северо-восточнее» изокванты lq₁, соответствует большему объему выпуска (т. е. q ₂ > q ₁). Если объ-
емиспользуемого основного капитала К неограниченно растет,
то затраты труда неограниченно убывают.

При n = 2 для любой ПФ со свойствами а г, изокванта (если
она не является прямой) есть линия (не обязательно гладкая),
которая выпукла к точке 0 (линия, которая похожа на изокванту
lq; если график ПФ похож на выпуклую горку, то естественно,
что ее изокванты есть линии, выпуклые кточке 0).

Дробь А _i = f (х)/ х _i (i = 1,2) называется средней производительностью i -го ресурса (фактора производства), или средним, выпуском по i -му ресурсу (фактору производства).

Придвухфакторной ПФКД Y = а ₀ К^{а 1} L^{а 2} для средних про-
изводительностей основного капитала Y/К и труда Y/L исполь-
зуются понятия соответственно капиталоотдача и производи-
тельность труда (они применяются для любых двухфакторных
ПФ,у которых х ₁ = К, х ₂ = L).

Первая частная производная от ПФ вида f (х₁, х ₂), имею-
щая вид

М _i = д f (х) /дх _i (i = 1,2),

называется предельной, или маржинальной производительностью
i -го ресурса (фактора производства), или предельным выпуском по
i -му ресурсу (фактору производства).

Предельная производительность ресурса приближенно показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска у, если
объем затрат х _i i -го ресурса вырастает на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого
ресурса. Здесь предельную величину М _i целесообразно интерпретировать, используя близкое к ней отношение малых конечных величин Δ f (x) и Δ x _i.

Пример 5.4. Для ПФКД вида у = a ₀ x ₁ ^{a 1} x ₂ ^{a 2} найти в явном виде сред-
ние и предельные значения А ₁ А ₂, М ₁, М ₂заданной функции.

Р е ш е н и е. Известны следующие формулы расчета:

А _i = f (х)/ х _i,
М_i = д f (x)/дх _i, i= 1,2;

подставляя значения, имеем:

А ₁ = f (х)/ х ₁ = а ₀ х ₁ ^{a 1-1} х ₂ ^{a 2};

А ₂ = f (х)/ х ₂ = а ₀ х ₁ ^{a 1} х ₂ ^{a 2-1}

М ₁ = д f (x)/дх ₁ = а ₀ х ₁ ^{a 1-1} х ₂ ^{a 2} а ₁ = а ₁ А ₁ ,

М₂ = д f (x)/дх ₂ = а ₀ х ₁ ^{a 1} х ₂ ^{a 2-1} а ₂ = а ₂ А ₂.

Если а ₁< 1, то М _i< А _i, так как М _i/ А _i = а _i. Таким образом, получаем, что преде-льная производительность i -го ресурса не больше средней производительности этого ресурса.

Пример 5.5. Для линейной ПФ вида у = а ₀+ а ₁ х ₁+ а ₂ х ₂(а _i > 0)
найти в явном виде средние и предельные значения А ₁, А ₂, М ₁и М ₂.

Р е ш е н и е. По аналогии с рассмотренным выше примером имеем:

A ₁ = f (х)/ х ₁= а ₀/ х ₁ + а ₁+ а₂х_2/х ₁,

A ₂ = f (х)/х₂ = а₀/ х ₂+ а₁х₁/х₂ + а ₂,

М ₁ = д f (х)/дх ₁ = a ₁; М ₂ = д f (х)/дх ₂ = a ₂ .

Отсюда имеем, что если М _i/ А _i ≤;1, то М _i ≤; А _i.

Отношение предельной производительности М _i i-го ресурса
к его средней производительности А i называется (частной) эластичностью выпуска no i-му ресурсу (по фактору производства), т. е.

Е _i = М _i/ А _i = д f (х)/дх _i / (х)/ х _i = д f (х)/дх_i * х _i / f (х).

Сумма Е ₁+ Е₂ = Е _x называется эластичностью производства.

Эластичность выпуска по 1-му фактору производства Е, при-
ближенно показывает, на сколько процентов увеличится выпуск у,
если затраты i -го ресурса увеличатся на один процент при неиз-
менных объемах другого ресурса. Пояснение выражения Е_i, со-
держащего предельную величину df (х)/ dх _i с помощью выраже-
ния, содержащего конечное приближение этой предельной ве-
личины, является ключевым в понимании сути частной эла-
стичности выпуска по i -му ресурсу.

Пример 5.6. Выписать в явном виде для ПФКД выражения для эластичностей Е ₁, Е ₂ и Е _x. Р е ш е н и е. Для ПФКД вида имеем:

Е_i= М_i/А_i= df(х)/dх_i/f(х)/х_i = df(х)/dх_i*х_i/f(х).

Как следует из результатов, полученных в примере 1.4, составляющие эластичности равны:

Подставив эти выражения в формулу частной эластичности, получим:

Е ₁ = M₁/ A₁ = а₁А₁/А₁ = а₁; Е₂ = М₂/А₂= а₂А₂/А₂ = а₂,

Е_x = Е₁ + Е₂ = а₁ + а₂.

Пример 5.7. Для линейной ПФ вида у = а₁х₁ + a₂x₂ (а ₀ = 0) выпи-
сать в явном виде выражения для эластичностей Е ₁, Е ₂ и Е _x.

Р е ш е н и е. Аналогично вышеприведенному примеру 1.6 имеем:

Е_i= М_i/А_i= df(х)/dх_i/f(х)/х_i = df(х)/dх_i*х_i/f(х).

Тогда получаем:

Е ₁ = M₁/ A₁ = а₁/(а₁+a₂x₂/x₁ = а₁x₁/(a₁x₁+a₂x₂);

Е₂ = М₂/А₂= а₂/(а₁x₁/x₂+a₂) = а₂x₂/(a₁x₁+a₂x₂);

Е_x = Е₁ + Е₂ = (а₁x₁ + а₂x₂)/(а₁x₁ + а₂x₂)=1

 

Предельной технологической нормой замены (замещения) i -го
ресурса (фактора производства) j -м ресурсом R_ij называется выражение) при постоянной у.

Пусть выпуск у является постоянным (т. е. все наборы затрачиваемых ресурсов расположены на одной изокванте), тогда
первый полный дифференциал производственной функции вида
y = f (х) равен:

 

где д х₁, д х₂ — дифференциалы переменных х₁, х_2.

Выразив первый дифференциал и поделив его на , по-
лучим:

(i=j, i=1,2).

Для двухфакторной ПФ справедливо равенство:

R₁₂ = ,

т.е. предельная норма замены первого ресурса вторым равна
отношению эластичностей выпуска по первому и второму ресурсам, умноженному на отношение объема второго ресурса к объему первого ресурса.

Если х ₁= К, х ₂= L, то отношение х ₁/ х ₂= К / L называется ка-
питаловооруженностью труда. В этом случае предельная норма
замены основного капитала трудом равна отношению эластичностей выпуска по основному капиталу и труду, поделенному на
капиталовооруженность труда.

При двухфакторной ПФ, постоянном выпуске у и малых
приращениях ∆ х ₁ и ∆ x ₂ имеет место следующее приближенное
равенство:

R ₁₂ = - dх ₂ / dx ₁ = -∆ х ₂/∆ x₁.

На основании этого равенства имеем, что предельная норма
замены ресурсов R ₁₂ приближенно показывает, на сколько еди-
ниц увеличатся затраты второго ресурса (при неизменном вы-
пуске у = а), если затраты первого ресурса уменьшатся на одну
(малую) единицу (рис. 1.5, а), откуда следует, что чем круче ка-
сательная к изокванте l _q в точке (х₁, х₂), тем больше выражение
— dx₂ /dx₁ и, следовательно, тем больше норма замены R ₁₂ первого ресурса вторым.

Пример 5.8. Для ПФКД вида у = а₀х₁^aх₂^a и линейной производст-
венной функции вида у = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ записать в явном виде выра-
жения R ₁₂ и R ₂₁.

Решение. Так как R _ij = dx _j/ dx _i= дf (х)/ д х_j/ дf (х)/ д х_i, то, взяв соответствующие производные и упростив выражения, можно записать
следующее:

 

Производственные функции в темповой форме записи, типа
CES и эластичность замещения ресурсов. Наряду со связями объ-
емных показателей выпуска и затрат ресурсов анализ связи меж-
ду темпами прироста этих показателей может вестись с введени-
ем производственных функций, отображаемых в темповой фор-
ме записи. Например, ПФ в темповой записи имеет вид:

у= f (k, l),

 

где k, l — темпы прироста соответственно затрат капитала и труда.

ПФКД в объемных показателях соответствует следующая линейная зависимость темпов прироста, называемая ПФКД в темповой записи:

y_t = α k _t + λl _t + ν,

 

где α, λ и ν — соответственно интенсивности использования ресурсов за-
трат капитала К, затрат труда L, темпа нейтрального НТП (та часть темпа
прироста выпуска, которая не связана с приростом затрат капитала и тру-
да, а отражает интенсификацию производства на макроуровне).

Пример 5.9. Пусть, например, получена следующая формула произ-
водственной функции в темповой записи: у _t = 0,З k _t + 0,6 l _t + 1,5. При
этом средний темп прироста затрат труда l_t составил 1%, средний темп
прироста используемого капитала k _t — 6%, а средний темп прироста
выпуска у _t — 3,9%. Оценить вклад экстенсивных и интенсивных факто-
ров производства.

Р е ш е н и е. Вклад экстенсивных факторов (прироста затрат ка-
питала и труда) составляет соответственно: 0,3*6% = 1,8% и 0,6*1%
=0,6%. Вклад интенсивных факторов (научно-технического прогресса)
составляет 1,5 процентных пункта, или 1,5/3,9*100% = 38,5%.

Рис. 5.5. Применение производственных функций:

Наиболее известным обобщением ПФКД является функция
с постоянной эластичностью замещения (Constant Elasticity Sub-
stitution — CES). Эластичность замещения ресурсов, или факто-
ров, G — это мера «кривизны» изоквант (линий уровня) ПФ
(если говорить точнее, тo «кривизну» изоквант измеряет вели-
чина 1/G).

Эластичность замещения труда капиталом G_LK показывает:

G_LK=d[ln(К/L))/d[ln(Y'_L/Y'_K],

 

на сколько процентов изменится капиталовооруженность (К/L)
при изменении предельной нормы замены труда капиталом
MRS_KL на 1%:

MRS_KL= -dК/dL = Y'_L/Y'_K

а — предельные и средние значения ПФ; б — эластичность замещения факторов по изокванте; в - е — ПФ различного вида: линейная (в), Кобба — Дугласа
(г), Леонтьева (д), функции CES (е).

Если изобразить одну из изоквант (линий уровня с Y = const)
ПФ на плоскости KL (см. рис. 1.5, б), обозначив ее цифрой 1, то
предельная норма замены в точке А — это тангенс угла наклона
этой изокванты, т.е. tg(α). При перемещении из точки А в точку
В по изокванте наклон касательной меняется, меняется и соот
ношение (K / L). Это соотношение постоянно вдоль каждой прямой, проходящей через начало координат (например, прямых
2 и 3). Величина 1/G показывает относительное изменение тангенса угла наклона линии уровня в расчете на единицу изменения отношения (К / L). Чем сильнее меняется наклон линии
уровня при переходе, скажем, из точки А в точку В (с прямой
2 на прямую 3), тем больше «кривизна» линии уровня (на рис. 1.5,
в - е приведен ряд линий уровня ПФ вида: в — линейной Y = аК + bL
+с (линейной), г — ПФКД, д — ПФ с бесконечной эластичностью
замещения Y = min(аК,bL) (функция Леонтьева), е --
производственной функции типа CES).

Линейная ПФ имеет нулевую «кривизну» и соответственно
бесконечную эластичность замещения у. ПФКД имеет эластичность замещения, равную единице. Функция Леонтьева имеет
нулевую эластичность замещения: ресурсы в ней должны ис-
пользоваться в заданной пропорции и не могут замещать друг
друга. В реальной экономике степень взаимозаменяемости ресурсов может быть различной, соответственно различной (а не
только нулевой, бесконечной или единичной) может быть и эластичность замещения.

Рассмотрим особенности оценки производственной функции
с постоянной (но произвольной) эластичностью замещения —
функции CES, описываемой следующей зависимостью:

Y = А(uK^-p + (1 — u) L^-p)^-n/p,

где р > - 1; n > 0 — степень однородности; А > 0; 0 < и < 1.

Эластичность замещения для такой функции равна:

E_R =1/(1 + р).

Если р=-1, то получаем функцию с линейными изоквантами
(в частности, линейную), при р→0 в пределе получаем производ-
ственную функцию Кобба — Дугласа с G = 1, а при р →∞ — про-
изводственную функцию Леонтьева. Например, развитие экономики СССР описывалось следующими оценками линейно-
однородной функции CES, полученными под руководством А.Г. Гринберга за 1960 — 1985 гг.:

а) без учета технического прогресса

Y = 1,002(0,64121*К^-0,81+ 0,3588L^-0,81)^-1/0,81;

R ² = 0,9984; DW = 1,58;

б) с учетом технического прогресса

Y = 0,966(0,4074 К ^-3.03 + 0,5926 L^{- 3,03})^{- 1/ 3,03}*е^0,0252t;

R² = 0,9982; DW =1,76.

С точки зрения статистик R² и DW обе зависимости получились значимыми при разных оценках показателя эластичности
замещения G (G = 1/(1 + р)). В целом оценка эластичности замещения зависела от конкретной специфики и составляла около
0,4, что говорит о невысокой степени взаимозаменяемости труда
и капитала (в функции Кобба — Дугласа предполагается, что эластичность замещения у априори составляет единицу). Ошибочность исходной гипотезы о степени взаимозаменяемости факторов может служить причиной недостаточной статистической
значимости оценок производственной функции Кобба — Дугласа.
Более подробно разновидности данного класса моделей рас-
смотрены в книге - Шелобаев «Математические методы и модели».

Самостоятельно: экономико-математические методы, относящиеся к оптимальным методам принятия решений на основе
моделей математического программирования (С.И. Шелобаев «Математические методы и модели» - глава вторая - математические модели оптимизации ресурсов и принятия решений; Б. Банди «Методы оптимизации. Вводный курс» - часть вторая).

 

назад