Условия Куна-Таккера.
В предыдущей лекции рассматривались ограничения g (x) = 0, т.е. ограничения в виде равенств. Некоторые экономические проблемы сводятся к задачам, в которых имеются ограничения другого вида, например, Рассмотрим геометрическую интерпретацию ограничений вида х ≥ 0. Они определяют n-мерный положительный ортант. Ортант — одна из 2n областей, на которые n-мерное пространство делится n взаимно перпендикулярными координатными гиперплоскостями. Неравенство g (х)≤ b определяет подмножество этого ортанта. Если решение задачи лежит на границе области, Пусть требуется найти максимум целевой функции и = и(х) → max, Составим функцию Лагранжа: Пусть (x 0, х 1 ,..., х n, 1,..., m) = (х, ) — стационарная точка, тогда в ней выполняются условия Ку 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 Поскольку выполнены неравенства (5.12) и (5.14) в уравнении (5.13) либо ,либо х*=0, либо эти равенства выполнены одновременно. Аналогично, в .
Из этих равенств и неравенств (5.14) и (5.17) следует другая формулировка условий Куна-Таккера: , если , j = 0, …., n , если i = 1,….,m gi (x*)= b, если i = 1,….,m , если g (x *)<b, i = 1,….,m Условия Куна-Таккера в виде (5.18) называются Рассмотрим пример. Пусть решается задача: u (x 1, x 2)= -4 x1+x2≤2 0.125 x 1≥0; x2 ≥0 Составим функцию Лагранжа:
-8x1+6x2-25-λ1-0,25 λ2x1 ≤ 0 -10x2+6x1+40- λ1-6 λ2x2 ≤ 0 (-8x1+6x2-25- λ1-0,25 λ2x1)x1+(-10x2+6x1+40- λ1-6 λ2x2)x2 = 0 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 2-x1-x2 ≥ 0 2 - 0,125 - 3 ≥ 0 λ1(2 – x1 – x2) + λ2(2 - 0,125 - 3 )=0 λ1 ≥ 0; λ2 ≥ 0 На рис. 5.5 заштриховано множество, удовлетворяющее ограничениям задачи. Целевая функция вогну- Условия Куна-Такке
Приложения:
|