Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Условия Куна-Таккера.





В предыдущей лекции рассматривались ограничения g (x) = 0, т.е. ограничения в виде равенств. Некоторые экономические проблемы сводятся к задачам, в которых имеются ограничения другого вида, например,
неравенства x 0 ≥ 0, x1 ≥ 0,..., x n≥ 0 и g (x) ≤ b.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию ограничений вида х ≥ 0. Они определяют n-мерный положительный ортант. Ортант — одна из 2n областей, на которые n-мерное пространство делится n взаимно перпендикулярными координатными гиперплоскостями. Неравенство g (х)≤ b определяет подмножество этого ортанта.

Если решение задачи лежит на границе области,
задаваемой ограничениями, то методом Лагранжа его
найти нельзя. Для решения таких задач используются
другие средства, например, теорема Куна-Таккера. Рас-
смотрим её формулировку.

Пусть требуется найти максимум целевой функции
и = и(x) при ограничениях g (x) ≤ b, x ≥ 0. Ограничения типа неравенства можно преобразовать
в равенства. Для этого рассмотрим вектор s= b-g (x)= (s1,..., sm). Тогда задача формулируется так:

и = и(х) → max,
g (x) + s = b и х ≥ 0, s ≥ 0

Составим функцию Лагранжа:


Пусть (x 0, х 1 ,..., х n, 1,..., m) = (х, ) — стационарная точка, тогда в ней выполняются условия Ку
на-Таккера:

5.12

5.13

5.14

5.15

5.16

5.17

Поскольку выполнены неравенства (5.12) и (5.14) в

уравнении (5.13) либо ,либо х*=0, либо эти равенства выполнены одновременно. Аналогично, в
силу неравенств (5.15) и (5.17) из уравнения (5.16) следует, что либо , либо λ * = 0, либо эти равенства выполнены одновременно. Запишем эти условия подробно:

.

 


Из этих равенств и неравенств (5.14) и (5.17) следует другая формулировка условий Куна-Таккера:

, если , j = 0, …., n

, если i = 1,….,m

gi (x*)= b, если i = 1,….,m

, если g (x *)<b, i = 1,….,m

Условия Куна-Таккера в виде (5.18) называются
условиями дополняющей нежесткости.

Рассмотрим пример. Пусть решается задача:

u (x 1, x 2)= -4

x1+x2≤2

0.125

x 1≥0; x2 ≥0

Составим функцию Лагранжа:


Условия Куна-Таккера:

-8x1+6x2-25-λ1-0,25 λ2x1 ≤ 0

-10x2+6x1+40- λ1-6 λ2x2 ≤ 0

(-8x1+6x2-25- λ1-0,25 λ2x1)x1+(-10x2+6x1+40- λ1-6 λ2x2)x2 = 0

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

2-x1-x2 ≥ 0

2 - 0,125 - 3 ≥ 0

λ1(2 – x1 – x2) + λ2(2 - 0,125 - 3 )=0

λ1 ≥ 0; λ2 ≥ 0

На рис. 5.5 заштриховано множество, удовлетворяющее ограничениям задачи. Целевая функция вогну-
та, её первое пересечение с множеством — точка А
координатами (0, 1). Она является решением задачи.
Другие граничные точки множества В 0 (0, 0) и С (2, 0) не удовлетворяют всем
условиям Куна-Таккера.

Условия Куна-Такке
ра полностью характеризу-
ют решение, однако в прак-
тических проблемах часто
они не дают аналитического
решения. Поэтому алгорит-
мы решения таких задач
используют численные ме-тоды.

 

 

Приложения:







Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 761. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Кран машиниста усл. № 394 – назначение и устройство Кран машиниста условный номер 394 предназначен для управления тормозами поезда...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия