Градиент.

Производной скалярного поля U = U (r) в данной точке r по вектору с, называется предел отношения;

Производной поля U = U (r) в данной точке r в направлении орта с⁰ называется производная . Производные по век­тору с и его орту с⁰ в данной точке связаны соотношением

- указывает скорость возрастания функ­ции U в направлении с⁰ в каждой точке; из всех производных в данной точке по раз­личным ортам наибольшей является произ­водная в направлении нормали n (n – орт нормали) к поверхности уровня в этой точке (в сторону возрастания функции U): производная по орту в лю­бом другом направлении выражается формулой

Градиент поля U (r) (обозначается: grad U или U^* ( - набла оператор))--век­тор, определенный в каждой точке поля, имеющий направление нор­мали к поверхности уровня (в сторону возрастания U) и длину, равную - .

Производная равна проекции grad U на направление с⁰:

Координаты градиента: в декартовой системе

в системе цилиндрических координат

в системе сферических координат

В тех точках поля, где линии уровня, проведенные согласно условию на стр. 530, оказываются начерченными более густо, абсолютная вели­чина градиента больше; в точках максимума и минимума поля [в них поверхности (линии) уровня вырождаются в точку] grad U = Q.

Дифференциал скалярного поля — полный диффе­ренциал функции U:

 

назад