Законы распределения непрерывных случайных величин

Нормальный закон распределения (Гаусса)

В биологии и медицине чаще всего рассматривают случаю величине, которые имеют нормальный закон распределения, например, частота дыхания, частота сердечных сокращений, динамика роста популяции и т.п.

Для нормального закона распределения плотность распределения задается уравнением:

где m – математическое ожидание, а σ – среднее квадратичное отклонение ( – дисперсия).

Стандартным нормальным распределением называют распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, плотность распределения которого имеет следующий вид:

Плотность вероятности стандартного нормального распределения имеет вид, представленный на рис. 1, функция его распределения представлена на рис. 2.

 

 

Рис. 1. Плотность вероятности стандартной нормальной случайной величины

Рис. 2. Функция распределения стандартной нормальной случайной величины

Дисперсия характеризует квадрат рассеивания случайной величины. Для того чтобы получить характеристику рассеивания, которая имеет такую же самую размерность что и случайная величина используют стандартное отклонение

Изменение математического ожидания не изменяет форму кривой, а лишь перемещает ее по оси Х. При изменении дисперсии форма кривой изменяется

Из рисунка видно, что чем большее значение дисперсии, т.е. чем большая степень рассеивания случайных величин, тем более пологой и растянутой становится кривая и наоборот.

Площадь под графиком функции плотности (рис. 4.) равняется 1 - это вероятность достоверного события.

Основное количество полученных результатов группируется вокруг наиболее вероятного значения. В практических применение важным есть правило “трех сигм”:

,

Т.е. вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отличается от своего математического ожидания больше чем на три сигма приблизительно равняется 0,0027, такое событие есть практически невозможным.

Распределение

Пусть независимые случайные величины х₁, х₂,..., х_п распределенные по нормальному закону с m=0 и =1.

Закон распределения случайной величины

,

называется хи-квадрат распределением с n степенями свободы (количество независимых координат).

С увеличением степеней свободы распределение приближается к нормальному.

Распределение Стьюдента (Госсета)

Пусть х, в независимые случайные величины, причем х распределено по нормальному закону с параметрами (0;1), в – по закону с n степенями свободы. Тогда, распределение случайной величины называется законом Стьюдента с n степенями свободы или t-распределением.

При увеличении числа степеней свободы распределение Стьюдента приближается к нормальному.

Значение коэффициентов Стьюдента для соответствующей доверительной вероятности и n степенями свободы сведены в таблицы.

В математической статистике при определении оценок вероятностей попадания случайной величины в доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью р покрывает параметр случайной нормально распределенной величины, используют t-распределение Стьюдента:

Рис. 5. Плотность вероятности распределения Стьюдента

Рис. 6. Функция распределения случайной величины Стьюдента со степенью свободы 1

Математическое ожидание распределения Стьюдента равняется 0, а дисперсия – . Плотность вероятности и функция распределения Стьюдента представленные на рис. 5. и 6 соответственно.

Число степеней свободы - это количество независимых координат.