Отношение на множестве

Всякое множество ГÌАхА декартово произведение множества А самого на себя называется отношением на множестве А.

Отношение Г называется рефлексивным, если для всех а ÎА верно а Г а. Отношение Г называется симметричным, если для всех а, b ÎА, верно а Г b Þ b Г а.

Отношение Г называется транзитивным, если для любого а,b, с ÎА, а Г b, b Г с Þ а Г с.

Отношение Г называется антирефлексивным, если для любого а ÎА а Г а никогда не выполняется.

Отношение Г называется антисимметричным, если для любого а ÎА и b ÎА а Г b и b Г а одновременно невозможно.

Отношение Г называется асимметричным, если для любых а, b ÎА из а Г b и b Г а Þ а=b.

Если отношение Г рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.

Теорема. Если на множестве А задано отношение эквивалентности Г, то множество А распадается на объединение непересекающихся классов эквивалентности.

Отношение Г называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, асимметрично, транзитивно.

Отношение Г называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Множество с заданным на нем отношением порядка называют упорядоченным множеством.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. На множестве людей L задано отношение Г – «жить на одной улице». Проверить, является ли оно отношением эквивалентности.

Решение. Для того чтобы отношение Г было отношением эквивалентности, необходимо, чтобы оно было рефлексивным, симметричным, транзитивным.

1. Так как каждый человек живет сам с собой на одной улице, то l Г l выполняется, а значит отношение Г – рефлексивно.

2. Так как из того, что человек l ₁ живет на одной улице с человеком l ₂ следует, что и l ₂ живет на одной улице с l ₁, т.е. из l ₁Г l ₂ Þ l ₂Г l ₁, то значит отношение Г – симметрично.

3. Очевидно, что из l ₁Г l ₂ и l ₂Г l ₃ следует l ₁Г l ₃.

Таким образом, отношение Г – отношение эквивалентности.

Задача 2. Пусть А=R – множество действительных чисел. Введем на R отношение Г: х Г у, если х £ у. Проверить, является ли отношение Г отношением порядка.

Решение. 1. Проверим на рефлексивность. Так как хГх выполняется, т.е. х£х, то Г – рефлексивно. 2. Проверим на симметричность. Так как из хГуÞуГх только в случае, когда х=у (х£у, у£х Þх=у), то отношение Г – асимметрично. 3. Проверим на транзитивность. Так как из хГу, уГzÞхГz (х£у, у£zÞх£z), то отношение Г – транзитивно.

Из 1.-3. следует, что Г – отношение нестрогого порядка, а значит, отношение Г является отношением порядка.