Естественный трехгранник

Теоретическая механика

Ответы по кинематике

 

Пусть точка движется по траектории , на которой установлена криволинейная система отсчета (Рис.1.7).

Рис.1.7

В любой точке траектории существует единственная касательная. Обозначим единичный вектор касательной; направлен в сторону возрастания дуговой координаты. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Обозначим единичный вектор главной нормали; направлен в сторону вогнутости траектории. Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Её единичный вектор направлен так, чтобы векторы и образовывали правую тройку.

Соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости образуют естественный трехгранник. Касательная, главная нормаль и бинормаль – оси естественного трехгранника; – орты этих осей.

Оси естественного трехгранника играют существенную роль в описании движения точки, поскольку в этих осях вектор скорости и вектор ускорения вычисляются, как будет показано ниже, наиболее удобным образом. Пока отметим только, что разложение этих векторов по осям естественного трехгранника имеет вид:

 

(1.8)

 

(1.9)

где

– проекция вектора скорости на направление касательной к траектории;

– проекция вектора ускорения на направление касательной к траектории, которая называется касательным ускорением точки;

– проекция вектора ускорения точки на направление главной нормали к траектории точки, которая называется нормальным ускорением точки.

 

Оставляя доказательство для самостоятельного изучения, приведём окончательные результаты.

 

Для вектора скорости получаем:

(1.10)

Таким образом,