Уравнения плоского движения.

Основная теорема

Движение плоской фигуры в своей плоскости складывается из двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом), и вращательного вокруг этого полюса.

Положение плоской фигуры на плоскости определяется положением выбранного полюса и углом поворота вокруг этого полюса, поэтому плоское движение описывается тремя уравнениями:

 

 

Первые два уравнения (рис.5) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ = const, очевидно, что это движение будет поступательным, при котором все точки фигуры будут двигаться так же, как полюс А.

Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при х_А = const и у_А = const, т.е. когда полюс А будет неподвижен; это движение будет вращением фигуры вокруг полюса А.

При этом вращательное движение не зависит от выбора полюса, а поступательное движение характеризуется движением полюса.

Зависимость между скоростями двух точек плоской фигуры.

Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Положение точкиВ относительно неподвижной системы координат Оху определяется радиусом-вектором r_B (рис.5):

r_B = r_A + ρ;,

где r_A - радиус-вектор точки А, ρ = АВ

вектор, определяющий положение точки В

относительно подвижных осей Ах₁у₁, перемещающихся поступательно вместе с полюсом А параллельно неподвижным осям Оху.

Тогда скорость точки В будет равна

.

В полученном равенстве величина является скоростью полюса А.

Величина равна скорости, которую точка В получает при = соnst, т.е. относительно осей Ах₁у₁ при вращении фигуры вокруг полюса А. Введем для этой скорости обозначение :

.

Следовательно,

Скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости V_A выбранного полюса А и скорости V_BA точки во вращательном движении вокруг полюса (рис.6):

. (2)

Скорость вращательного движения точки направлена перпендикулярно отрезку АВ и равна

Модуль и направление скорости точки В находится построением соответствующего параллелограмма (рис.6).