Дифференциальное уравнение движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа 2-го рода)

Полагаем, что механическая система состоит из n -точек, имеет S -степеней свободы. Рассмотрим движение i -точки, которое опишем радиус–вектором , который является функцией обобщенных координат и времени:

Тогда скорость i -точки :

При условии стационарных связей . Тогда, продифференцировав по , получим:

(1)

Уравнение (1) также называют тождеством Лагранжа.

Теперь рассмотрим кинетическую энергию системы. Она есть функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени.

Для системы точек:

Вычисляем частное производную по по q и по t:

Подставляя уравнения (1), получаем:

(2)

Возьмем полный дифференциал по t:

(3)

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением системы в обобщенных координатах или уравнением Лагранжа 2 рода.

Количество этих уравнений зависит от числа степеней свободы s.

Алгоритм решения задач с применением уравнения Лагранжа 2 рода можно разбить на 6 пунктов:

1) выбрать обобщенную координату и определить число степеней свободы s;

2) вычислить кинетическую энергию системы через обобщенную координату;

3) записать уравнение Лагранжа 2 рода в соответствии с выбранной обобщенной координатой;

4) дифференцируем в соответствии с уравнением;

5) определяем обобщенную силу, соответствующую выбранной обобщенной координате. Для этого сначала надо определить потенциальную энергию системы или работу системы:

;

6) все найденные величины подставить в уравнение Лагранжа.