Условия равновесия твердого тела под действием системы сил , произвольно расположенных в пространстве

 

Рассмотрим теперь условия равновесия абсолютно твердого тела под действием произвольной пространственной системы сил. Под равновесием здесь понимается его относительный покой в данной системе координат, а не движение по инерции. Тогда получим условия равновесия в виде равенств нулю главного вектора и главного момента сил:

 

=0, =0 (4.17)

 

Безусловно, что под действием таких сил свободное твердое тело сохранит свой относительный покой. В то же время если тело сохраняет свой относительный покой, то должны быть выполнены условия (4.17). Следовательно условия (4.17) представляют собой необходимое и достаточное условия равновесия свободного твердого тела, находящегося под действием системы сил, как угодно расположенных в пространстве. Если условия (4.17) спроектируем на три оси координат, произвольно выбранные в пространстве (рис.4.2), то будем иметь шесть уравнений равновесия абсолютно твердого тела:

 

(4.18)

 

Условия (4.18) можно сформулировать следующим образом: Для равновесия твердого тела, находящегося под действием как угодно расположенных в пространстве системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций приложенных сил соответственно на оси координат x, y, z и суммы моментов этих сил относительно тех же осей координат одновременно были равны нулю.

В отдельных частных случаях некоторые из этих шести уравнений могут сократиться. Например: для системы сходящихся сил три последних уранвения выполняются тождественно. Действительно, если возьмем точку в которой сходится линия действия сил, за центр моментов, то все моменты сил относительно оси координат, проходящей через этот центр будут равны нулю. Тогда первые три уравнения (4.18) определяют условия равновесия пространственной системы сходящихся сил. Для плоской системы сил ось Z расположим перпендикулярно к плоскости действия сил. Тогда третье уравнение (4.18) выполняется тождественно, так как силы перпендикулярны к оси. Четвертое и пятое уравнения условий (4.18) также удовлетворяются тождественно, так как линии действия сил пересекают ось моментов или параллельны ей. Остающиеся при этом уравнения равновесия тела под действием плоской системы сил будут

 

(4.19)

 

Если на твердое тело действует пространственная система параллельных сил, то ось Z направив параллельно линиям действия сил находим, что первые два и последнее уравнение системы (4.18) выполняются тождественно и условия равновесия для такой системы сил имеет вид:

 

(4.20)

 

Возвращаясь к общему случаю системы сил, как угодно расположенных в пространстве, заметим, что задача будет статически определенной, если число неизвестных не превышает шести.