Свойства дисперсии. 1.Дисперсия постоянной величины равно нулю:

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин:
.
Следствие. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин.
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин:
.

Теорема. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и вероятность непоявления этого события в одном испытании:
.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
.
Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины.

 

Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс. руб.

Найти среднюю заработную плату.
Решение:

(3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков). Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Представим это в виде следующей формулы:

§ — цена за единицу продукции;

§ — количество (объем) продукции;

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Заработная плата одного рабочего тыс. руб; X	Число рабочих F
3,2
3,3
3,4
4,0
Итого:

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М (Х) = х ₁ р ₁ + х ₂ р ₂ + … + х_пр_п.

Пример 3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:

Х
p	0,2	0,5	0,3

Решение: По формуле находим математическое ожидание:

M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = M [X - M (X)]².

Пример 4. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

Х
p	0,3	0,5	0,2

Решение: По формуле находим математическое ожидание:

M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.

Записываем все возможные значения квадрата отклонения:

[X₁ - M (X)]² = (1 - 2,3)² = 1,69;

[X₂ - M (X)]² = (2 - 2,3)² = 0,09;

[X₃ - M (X)]² = (5 - 2,3)² = 7,29.

Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид:

[X - M (X)]2	1,69	0,09	7,29
p	0,3	0,5	0,2

По формуле находим дисперсию:

D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.

 

Тема: « Представление данных »