Теоретическая часть. Схема исследования функций:

Схема исследования функций:

· Найти область определения функции.

· Установить, не является ли функция четной, нечетной, периодической.

· Найти точки разрыва и исследовать пределы функции в этих точках.

· Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

· Исследовать интервалы возрастания и убывания функции.

Для исследования функции на возрастание и убывание находят производную ƒ΄(х) функции ƒ(х) определяют ее знак. (Если ƒ΄(х) 0, то ƒ(х) возрастает; если ƒ΄(х) 0, то ƒ(х) убывает)

· Найти точки перегиба.

· Исследовать график функции на выпуклость и вогнутость (f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f ''(x) > 0 – вогнутый.)

· Найти точки пересечения с осями координат.

· Определить промежутки знакопостоянства функции, т.е. промежутки, на которых ƒ(х) 0 и ƒ(х) 0.

· Построить график заданной функции.

Пример 1. Исследовать функцию у = и построить ее график. Решение. Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки х = 1, поэтому, D(у) = (- 1) (1; + ). * Так как у (-х) = = - , то функция ни четная и ни нечетная. * Так как у(х + Т) = = ни при каком Т 0, то данная функция не периодическая. * Строим прямую х = 1. В случае, когда х приближается к 1 слева, значения функции стремятся к – , а в случае, когда х приближается к 1 справа, значения функции стремятся к + . Так как у = + = х + 1 + , то при |х| график этой функции приближается к графику функции у_{1 =} х +1. * Находим производную у΄ = = и из уравнения - 2х – 3 = 0 определяем критические точки: х₁ = - 1 и х₂ = 3. Так как для точек интервала (- ; - 1) производная имеет знак «+», а для точек интервала (- 1; 1) производная имеет знак «-», то точка х₁ = -1 является точкой максимума функции. Аналогично убеждаемся, что точка х₂ = 3 является точкой минимума функции. * Так как уравнение х² + 3 = 0 не имеет действительных корней, то график функции не пересекает ось 0х. * На интервале (- ; - 1) функция возрастает, на интервале (- 1; 1) – убывает, на интервале (1; 3) вновь убывает, на интервале (3; + ) – возрастает. Найдем точки графика при х₁ = - 1 и х₂ = 3; А (- 1; - 2); В (3; 6). * Найдем точки пересечения графика функции с осью 0у: у(0) = - 3. * Построим график исходной функции.

 

Тема: « Вычисление неопределенных интегралов »