Вычислительные методы

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел. В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.

Основами для вычислительных методов являются:

a) решение систем линейных уравнений;

b) интерполирование и приближённое вычисление функций;

c) численное интегрирование;

d) численное решение системы нелинейных уравнений;

e) численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений;

f) численное решение уравнений в частных производных (уравнений математической физики);

g) решение задач оптимизации.

 

Источники и классификация погрешностей

Задача вычисления y = A (x) называется корректно поставленной, если для любых входных данных из некоторого класса существует решение задачи, единственное и устойчивое по входным данным.

Источниками возникновения погрешности численного решения задачи являются следующие:

· неточность математического описания, в частности, неточность задания начальных данных;

· неточность численного метода решения задачи.

Данная причина, возникает например, когда решение математической задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, что приводит к необходимости ограничения их числа, т. е. использования приближённого решения;

· конечная точность машинной арифметики.

Существуют следующие виды погрешностей:

· неустранимая погрешность;

· погрешность метода;

· вычислительная погрешность.

Неустранимая погрешность состоит из двух частей:

a) погрешности, обусловленной неточностью задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;

b)погрешности, являющейся следствием несоответствия математического описания задачи реальной действительности (погрешность математической модели). Для вычислителя погрешность задачи следует считать неустранимой, хотя постановщик задачи иногда может ее изменить.

Результирующая погрешность определяется как сумма величин всех перечисленных выше погрешностей.

Погрешность метода связана со способом решения поставленной математической задачи. Она появляется в результате замены исходной математической модели другой и/или конечной последовательностью других более простых (например, линейных) моделей. При создании численных методов закладывается возможность отслеживания таких погрешностей и доведения их до сколь угодно малого уровня. Отсюда естественно отношение к погрешности метода как устранимой (или условной).

Вычислительная погрешность (погрешность округлений) обусловлена необходимостью выполнения арифметических операций над числами, усечёнными до количества разрядов, зависящего от применяемой вычислительной техники.

 

[gl] Тема 2. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешности решения задачи на PC [:]

 

Абсолютной погрешностью измерения называется величина, определяемая разницей между результатом измерения x и истинным значением измеряемой величины x ₀:

Δ x = | x – x ₀|.

Величина δ, равная отношению абсолютной погрешности измерения к результату измерения, называется относительной погрешностью:

δ = .

Пример 2.1. Приближённым значением числа π является 3.14. Тогда погрешность его равна 0.00159…. Абсолютную погрешность можно считать равной 0.0016, а относительную погрешность равной 0.0016 / 3.14 = 0.00051 = 0.051 %.

Значащие цифры. Если абсолютная погрешность величины a не превышает одной единицы разряда последней цифры числа a, то говорят, что у числа все знаки верные. Приближённые числа следует записывать, сохраняя только верные знаки. Если, например, абсолютная погрешность числа 52 400 равна 100, то это число должно быть записано, например, в виде 524 · 10 2 или 0.524 · 10 5. Оценить погрешность приближённого числа можно, указав, сколько верных значащих цифр оно содержит. При подсчёте значащих цифр не считаются нули с левой стороны числа.

Например, число 0.0283 имеет три верных значащих цифры, а 2.5400 – пять верных значащих цифр.

Правила округления чисел. Если приближённое число содержит лишние (или неверные) знаки, то его следует округлить. При округлении возникает дополнительная погрешность, не превышающая половины единицы разряда последней значащей цифры (d) округлённого числа. При округлении сохраняются только верные знаки; лишние знаки отбрасываются, причём если первая отбрасываемая цифра больше или равна d /2, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются (как и лишние нули). Например, если погрешность измерения 0.001 мм, то результат 1.07005 округляется до 1.070. Если первая из изменяемых нулями и отбра­сываемых цифр меньше 5, остающиеся цифры не изменяются. Например, число 148 935 с точностью измерения 50 имеет округление 148 900. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр равна 5, а за ней не следует никаких цифр или идут нули, то округление производится до ближайшего чётного числа. Например, число 123.50 округляется до 124. Если первая из заменяемых нулями или отбрасываемых цифр больше 5 или равна 5, но за ней следует значащая цифра, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу. Например, число 6783.6 округляется до 6784.

Пример 2.2. При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16, а при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280 – 1284 = 4.

Пример 2.3. При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0.01523 или приближённо 3/200 ≈ 1.5 %.

Пример 2.4. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 = 1.4 %.