Действия над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц A_m×n = (a_ij) и B_m×n = (b_ij) называется матрица C_m×n = (c_ij) такая, что c_ij = a_ij + b_ij .

Пример 9.2.

.

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы A_m×n = (a_ij) на число k называется матрица B_m×n = (b_ij) такая, что b_ij = k · a_ij .

Пример 9.3.

Матрица – A = (–1)· A называется противоположной матрице A.

Разность матриц A – B можно определить так: A – B = A + (– B).

 

[kgl].

 

[gl] Тема 10. Произведение матриц. Детерминанты. Их свойства [:]

 

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы A_m×n = (a_ij) на матрицу B_n×p = (b_jk) называется матрица C_m×n = (c_ik) такая, что

, где ,

т. е. элемент i -й строки и k -го столбца матрицы произведения C равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы A на соответствующие элементы k -го столбца матрицы B.

Получение элементa c_ik схематично изображается так:

 

i

k

 

 

Если матрицы A и B квадратные одного размера, то произведения A·B и B·A всегда существуют. Легко показать, что A · E = E · A, где A – квадратная матрица, E – единичная матрица того же размера.