Применение графиков в решении уравнений

Уравнением с одним неизвестным называется равенство f (x) = g (x), в котором требуется найти неизвестную величину x.

Пусть задано квадратное уравнение x ² + рх + q = 0.

Перепишем его следующим образом: х ² = – рх – q и построим графики зависимостей

y = x² и y = – рх – q.

График первой зависимости известен – это парабола; вторая зависимость – линейная. В том случае, когда х является решением уравнения, координаты точек обоих графиков равны между собой. Если прямая и парабола пересекаются, то абсциссы гочек пересечения являются корнями квадратного уравнения.

Пример 3.1. Решить уравнение 4х² –12 х + 7 = 0.

Представим уравнение в виде х² = 3 х – 7/4.

Построим параболу у = х² и прямую у = 3 х – 7/4 (рисунок 3.1). Парабола и прямая пересекаются в двух точках с абциссами x ₁ = 0.8 и х ₂ = 2.2.

– 3

– 2

– 1

y = x 2

y = 3 x – 7/4

 

 

Рисунок 3.1 – Графическое решение уравнения

 

Пример 3.2. Решить уравнение х² – х + 1 = 0. Запишем уравнение в виде х ² = х – 1.

Построив параболу у = х² и прямую у= х – 1 (рисунок 3.2), увидим, что их графики не пересекаются (рисунок 3.2) – значит, уравнение не имеет действительных корней.

– 3

– 2

– 1

y = x 2

y = x – 1

 

 

Рисунок 3.2 – Графическое решение уравнения

 

Пример 3.3. Решить систему уравнений

Построим в одной системе координат графики уравнений (рисунок 3.3):

x ² + y ² = 25 и y = – x ² + 2 x + 5.

– 5

– 5

x

y

x 2 + y 2 = 25

y = – x 2 + 2 x + 5

 

Рисунок 3.3 – Графическое решение уравнения

 

Координаты любой точки построенной окружности являются решением первого уравнения, а координаты любой точки параболы – решением второго уравнения.

Значит, координаты каждой из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению системы, так и второму, т. е. являются решением рассматриваемой системы. Находим приближённые значения координат точек пересе­чения графиков: А(–2.2; –4.5), В(0; 5), С (2.2; 4.5), D (4; –3). Следовательно, система уравнений имеет четыре решения:

 

x 1 ≈ –2.2	y 1 ≈ –4.5	x 2 ≈ 0	y 2 ≈ 5;
x 3 ≈ 2.2	y 3 ≈ 4.5	x 4 ≈ 4	y 4 ≈ –3

 

Подставив найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.

Пример 3.4. Решить уравнение sin x + cos x = 1.

Тригонометрические уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический способ решения на примере рисунка 3.4.

 

 

2π

4π

–2π

–2π + π/2

π/2

2π + π/2

–1

x

y

y = 1 – cos (x)

y = sin (x)

 

Рисунок 3.4 – Графическое решение уравнения

 

Построим графики функций y = sin x и y = 1 – cos x. Из графика видно, что уравнение имеет две корней: x = 2π· n, где и x = π/2 + 2π· k, где .

[kgl].

 

[gl] Тема 4. Алгебраические уравнения. Диофантово уравнение [:]

 

Уравнение – аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны f (x, y,...) = g (x, у,...). Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неиз­вестных, при которых значения функций равны, – решениями или корнями. О таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Алгебраические уравнения имеют следующий вид:

P (x ₁, …, x_n) = Q (x ₁, …, x_n),

где Р и Q – многочлены с коэффициентами из поля рациональных чисел.

Линейное уравнение – это уравнение, обе части которого могут быть выражены многочленами (от неизвестных) первой степени.

Линейное уравнение можно привести к виду: ах+b = 0, где а – ненулевой параметр, b – произвольный параметр.

Линейное уравнение имеет единственное решение

Квадратное уравнение – уравнение вида ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

В общем случае уравнение решается так:

Число D = b² – 4ас называется дискриминантом многочлена ах² + bх + с = 0. Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, то оба корня вещественны и равны. Если D < 0, то оба корня являются комплексными сопряжёнными числами.

Квадратное уравнение вида x ² + px + q = 0, в котором ведущий коэффициент (т. е. коэффициент при старшем члене) равен единице, называют приведённым. В этом случае решение такого уравнения выглядит следующим образом:

Теорема Виета. Сумма корней приведённого квадратного уравнения x ² + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:

x ₁ + x ₂ = – p;

x ₁· x ₂ = q.

В случае неприведённого квадратного уравнения ах² + bх + с = 0:

Кубическое уравнение – уравнение вида ах³ + bх² + сx + d = 0, где a ≠ 0.

Заменяя в этом уранении x новым неизвестным y, связанным с x равенством , уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду:

y ³ + py + q = 0.

где

.

Решение этого уравнения можно получить с помощью формулы Кардано.

Пример 4.1. Решить уравнение .

Решение

Возведём обе части этого уравнения в квадрат и получим x² – 5 = 4, откуда следует, что x² = 9, т. е. x _1,2 = ±3.

Проверим, что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, при подстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:

и .

Следовательно, х₁ = 3 или х₂ = –3 – решения данного уравнения.

Пример 4.2. Решить уравнение .

Решение

Возведём в квадрат обе части уравнения, получим x = x ² – 4 x + 4. После преобразований приходим к квадратному уравнению х² – 5х + 4 = 0, корни которого х ₁ = 1 и х₂ = 4.

Проверим, являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в него числа 4 получим верное равенство , т. е. 4 – решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правой части –1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решением уравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятого способа решения.

Ответ: х = 4.

Пример 4.3. Решить уравнение .