Свойства детерминантов

Рассмотрим свойства детерминантов на примере детерминанта 3-го порядка.

Свойство 1. Детерминант не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

.

Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов детерминант меняет знак.

Свойство 3. Детерминант, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда детерминанта можно вынести за знак детерминанта.

Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда детерминанта представляют собой суммы двух слагаемых, то детерминант может быть разложен на сумму двух соответствующих детерминантов.

Например,

.

Свойство 6. Детерминант не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.

Минором некоторого элемента a_ij детерминанта n -го порядка называется детерминант порядка, полученный из исходного путём вычёркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначим m_ij.

Так, если

, то , .

Алгебраическим дополнением элемента a_ij детерминанта называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i + j – чётное число, и со знаком «–», если эта сумма нечётная. Обозначается A_ij = (–1) ^{i + j} · m_ij.

Так, A ₁₁ = + m ₁₁, A ₃₂ = – m ₃₂.

Свойство 7. («Разложение детерминанта по элементам некоторого ряда»). Детерминант равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. Например

 

 

 

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления детерминантов высоких порядков.

Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда детерминанта на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

Так, например, a ₁₁· A ₂₁ + a ₁₂· A ₂₂ + a ₁₃· A ₂₃ = 0.

 

 

[kgl].

 

 

[gl] Тема 11. Понятие невырожденной матрицы. Обратная матрица. Этапы нахождения обратной матрицы [:]

 

Пусть A – квадратная матрица n -го порядка

. (11.1)

Квадратная матрица A называется невырожденной, если детерминант Δ = det A не равен нулю: Δ = det A ≠ 0. В противном случае (Δ = 0) матрица A называется вырожденной.

Матрица A ^–1 называется обратной матрице A, если выполняется условие

A · A ^–1 = A ^–1 · A = E,

где E – единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица A ^–1 имеет те же размеры, что и матрица A.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет единственную матрицу A ^–1 = B, элементы которой находятся по формуле

.

Из теоремы вытекает правило: чтобы найти обратную матрицу к матрице (11.1), надо пройти следующие этапы преобразования:

1. Вычислить детерминант Δ матрицы A (Δ = det A ≠ 0).

2. Каждый элемент матрицы A заменить его алгебраическим дополнением, т. е. составить матрицу (A_ij).

3. Транспонировать матрицу (A_ij), т. е. записать матрицу (A_ji).

4. Матрицу (A_ji) умножить на .

В результате получим матрицу A ^–1.

Пример 11.1. Найти матрицу A ^–1, обратную к матрице

.

Решение: 1. Вычисляем детерминант данной матрицы

.

Т. к. det A = 5 ≠ 0, то матрица A имеет обратную матрицу A ^–1.

2. Находим алгебраические дополнения

Составляем матрицу (A_ij) из алгебраических дополнений

.

3. Транспонируем полученную матрицу, т. е. переходим к матрице (A_ji)

.

4.Умножая на , получим обратную матрицу

. (11.2)