Решение. Для отделения корней исследовалась производная уравнения F ′(x) = 15 x2 – 20, корни которой легко определились аналитически: это ±2/

Для отделения корней исследовалась производная уравнения F ′(x) = 15 x ² – 20, корни которой легко определились аналитически: это ±2/ . Определим знаки функции на интервалах

.

Параметр	Характеристики интервалов
Интервал	–3	–2		+1	+2
Знак (F (x))	–	+	+	–	+

 

Следовательно, корни расположены на отрезках [–3; –2]; [0; 1] и [1; 2].

Теперь уравнение F(х) = 0 следует привести к виду x = ψ (x), что можно сделать разными способами, например:

1) , тогда ;

2) , тогда ;

3) , тогда .

Определим, какой из полученных функций ψ(x) следует воспользоваться для вычисления последовательных приближений. Итерационный процесс сходится, если

| ψ`(x)| < 1.

Выберем на отрезке [0; 1] произвольную точку x ₀. Пусть x ₀ = 0.5. Тогда

 

Проверим условие сходимости итерационного процесса:

– расходящийся итерационный процесс;

– сходящийся итерационный процесс.

Следовательно, для вычисления последовательных приближений можно использовать только ψ₃(x).

Тогда, выбирая x ₀ = 0.5, определим x ₁ = ψ (x ₀), т. е.

.

Если | x ₂ – x ₁| ≤ ε, то x ₁ – корень уравнения.

В противном случае вычисляем x ₂ = ψ (x ₁), т. е.

.

Затем снова следует проверка

| x ₂ – x ₁| ≤ ε

Если условие выполняется, то x ₂ – корень уравнения, в противном случае вычисляется величина x ₃ = ψ (x ₂). Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

 

Пример 6.2. Методом итераций уточнить с точностью до 10 ^–4 корень уравнения .