Погрешности решения задачи на PCВ качестве основных источников погрешности обычно рассматривают три вида ошибок. Это так называемые ошибки усечения, ошибки округления и ошибки распространения. Например, при использовании итерационных методов поиска корней нелинейных уравнений результаты являются приближенными в отличие от прямых методов, дающих точное решение. С точки зрения точности результата использование прямых методов может показаться более предпочтительным. Однако на самом деле при решении задачи на компьютере ответ все равно будет содержать погрешность. Ошибки усечения Этот вид ошибок связан с погрешностью, заложенной в самой задаче. Он может быть обусловлен неточностью определения исходных данных. Например, если в условии задачи заданы какие-либо размеры, то на практике для реальных объектов эти размеры известны всегда с некоторой точностью. То же самое касается любых других физических параметров. Сюда же можно отнести неточность расчётных формул и входящих в них числовых коэффициентов. Большое число расчётных формул являются эмпирическими и дают результат с некоторой погрешностью, содержат подгоночные коэффициенты, обеспечивающие приемлемую ошибку в ограниченном диапазоне входных параметров. Поэтому, как правило, если исходные данные известны с некоторой погрешностью, вряд ли стоит пытаться получить результат с меньшей погрешностью. Ошибки распространения Данный вид ошибок связан с применением того или иного способа решения задачи. В ходе вычислений неизбежно происходит накопление или, иначе говоря, распространение ошибки. Помимо того, что сами исходные данные не являются точными, новая погрешность возникает при их перемножении, сложении и т. п. Накопление ошибки зависит от характера и количества арифметических действий, используемых в расчёте. Обычно для решения одной и той же задачи может быть использован ряд различных методов решения. Например, систему линейных алгебраических уравнений можно решить методом Гаусса или через детерминанты (методом Крамера). Теоретически оба метода позволяют получить точное решение. Однако на практике при решении больших систем уравнений метод Гаусса обеспечивает меньшую погрешность, чем метод Крамера, так как использует меньший объём вычислений. Ошибки округления Это тип ошибок связан с тем, что истинное значение числа не всегда точно сохраняется компьютером. При сохранении вещественного числа в памяти компьютера оно записывается в виде мантиссы и порядка примерно так же, как отображается число на калькуляторе. На рисунке 2.1 используются следующие обозначения: R1, R2, R3,..., Rn – разряды мантиссы; D1, D2,..., Dm – разряды порядка. На самом деле конечно, в отличие от дисплея калькулятора, мантисса и порядок числа, включая их знаки, в памяти компьютера хранятся в двоичном виде. Но для обсуждения природы ошибок округления это различие не столь принципиально.
Рисунок 2.1 – Структура записи вещественного числа Понятно, что иррациональные числа такие, как π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41972 ... и e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 ..., не могут быть представлены точно, так как количество их значащих цифр превышает число отведённых разрядов мантиссы. При этом цифра последнего сохраняемого в PC разряда может быть записана с округлением или без него. Фактически при заданной структуре хранения числа компьютер может использовать не бесконечное, а конечное число рациональных чисел. Поэтому любой входной параметр решаемой задачи, её промежуточный результат и окончательной ответ всегда округляются до разрешённых в компьютере чисел. Следующий важный вывод касается диапазона представления чисел в PC. Если проводить рассуждения для десятичной системы счисления, то максимальное по модулю число, которое может быть представлено в соответствии со схемой на рисунке 2.2, равно ± X ∞ = ±999…9 × 10 +999…9.
Рисунок 2.2 – Машинная числовая ось
Все числа, превышающие по модулю X∞, не представимы в PC и рассматриваются как машинная бесконечность. Если в ходе расчётов будет получен результат, превышающий X∞, то произойдёт аварийное завершение вычислений по переполнению. Минимальное по модулю число, сохраняемое в памяти компьютера, равно ± X 0 = ± 000…1 × 10 –999…9. Числа, модуль которых меньше X0, воспринимаются PC как нуль, точнее как машинный нуль. Если при выполнении расчетов будет получен результат меньше, чем X0, то это будет воспринято как потеря порядка. Обычно в подобной ситуации результат полагается равным нулю, и вычисления продолжаются. На рисунке 2.2 показана «машинная» числовая ось, на которой отмечены X0 и Х ∞. Числа располагаются на оси неравномерно. Их плотность возрастает по мере приближения к нулю. Вблизи единицы отмечена небольшая область ε M, которую называют машинное эпсилон. Параметр ε M весьма важен, так как он характеризует относительную точность представления чисел в компьютере. В зависимости от способа округления чисел в PC величина ε M определяется первым отбрасываемым или последним сохраняемым разрядом мантиссы. [kgl]. [gl] Тема 3. Элементарные функции и их свойства. Применение графиков в решении уравнений [:] Функцией (функциональной зависимостью) называется закон, по которому каждому значению независимой переменной x из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определённое значение величины y. Совокупность значений, которые принимает зависимая переменная y, называется областью значений функции. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x; y), такими, что абсцисса x принимает все значения из области определения, а ордината y равна значению функции в точке x. Функция f (x) называется чётной, если для любого x из её области определения –x также принадлежит области определения, причём, f (x) = f (– x). Функция f (x) возрастает на некотором интервале, если для любых значений x 1 и x2, принадлежащих этому интервалу, таких, что x 2 > x 1, выполнено неравенство f (x 2) > f (x 1). Функция f (x) убывает на некотором интервале, если для любых значений x 1 и x2, принадлежащих этому интервалу, таких, что x 2 > x 1, выполнено неравенство f (x 2) < f (x 1). Точка f (x) ≤ f (x 0) (соответственно f (x) ≥ f (x 0)). Алгебраическая функция – функция, которая в окрестности каждой точки области определения может быть задана неявно с помощью алгебраического уравнения. Функция F (x1, x2,..., xn) называется алгебраической в точке A = (a l, а2,..., ап), если существует окрестность точки A, в которой верно тождество P(F(x1, x2,..., xn), х1, x2,..., хn) = 0, где Р – многочлен от (п + 1)-й переменной. Функция называется алгебраической, если она является алгебраической в каждой точке области определения. Все рациональные числа являются алгебраическими. Среди иррациональных чисел есть как алгебраические, так и трансцендентные. Например,
|
называется точкой локального максимума (минимума) функции f : X→ R, если существует такая окрестность U(x0) точки x0, что для всех 
выполняется неравенство
– алгебраическое иррациональное число, a π – трансцендентное иррациональное число.
