Решение. Примем за первое ведущее уравнение первое уравнение системы, а за первое ведущее неизвестное – x1; первым ведущим элементом будет a11 = 2

Примем за первое ведущее уравнение первое уравнение системы, а за первое ведущее неизвестное – x ₁; первым ведущим элементом будет a ₁₁ = 2. Исключим x ₁ из второго и третьего уравнений, прибавив ко второму уравнению ведущее, умноженное на , а к третьему – ведущее, умноженное на .

Получим:

Первый шаг закончен. Второе и третье уравнения образуют первую подсистему. За второе ведущее уравнение примем второе уравнение системы, а за второе ведущее неизвестное x ₂; вторым ведущим элементом будет . Исключим x ₂ из третьего уравнения, прибавив к третьему ведущее, умноженное на .

Получим:

Второй шаг закончен. Вторая подсистема состоит из одного третьего уравнения. Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратным ходом получаем:

Итак, решение данной системы будет: x ₁ = –4, x ₂ = 3, x ₃ = –1.

 

[kgl].

 

[gl] Тема 15. Численное интегрирование. Геометрический смысл интеграла. Метод прямоугольников. Схема алгоритма вычисления интеграла [:]

 

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определённый интеграл вида

,

где f (x) – подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [ a; b ].

Непрерывность функции является достаточным условием её интегрируемости. Однако определённый интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной функции, имеющей на нём конечное число точек разрыва.

Определённый интеграл однозначно связан с неопределённым интегралом, или первообразной, формулой Ньютона – Лейбница

. (15.1)

где F (b) и F (a) – любая первообразная функции f (x), вычисленная в точках b и a соответственно.

Если же интеграл от данной функции не может быть вычислен по формуле (15.1), т. е. не выражается через элементарные функции, или если функция f (x) задана графически или таблицей, то для вычисления определённого интеграла применяют приближённые формулы. Для приближённого вычисления интеграла (15.1) существует много численных методов, таких как:

• метод прямоугольников;

• трапеций;

• Симпсона и др.

Примеры интегралов, имеющих большое значение в приложениях, но не выражающихся через элементарные функции:

– интеграл Пуассона (теория вероятностей),

– интегральный логарифм (теория чисел),

, – интегралы Френеля (физика),

, – интегральные синус и косинус,

– интегральная показательная функция.

При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определённого интеграла.

Если f (х) ≥ 0 на отрезке [ a; b ], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y = f (x), отрезком оси абсцисс, прямой x = a и прямой x = b (рисунок 15.1). Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади S криволинейной трапеции.

 

y

x

a

b

f (a)

f (b)

y = f (x)

S

O

 

 

Рисунок 15.1 – Геометрический смысл определённого интеграла