Решение. .

Имеем: f (x) = x ³,

,

;

O

0.5

1

1.5

2

x

y

2

4

6

Рисунок 17.3 – Решение задачи

(рисунок 17.3)

a) по формуле прямоугольников:

т. е.

b) по формуле трапеций:

т. е.

c) по формуле парабол:

т. е.

Точное значение интеграла

Абсолютные погрешности соответствующих формул таковы: a) 0.125; b) 0.25; c) 0.

 

[kgl].

 

[gl] Тема 18. Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный полином Лагранжа [:]

 

Интерполяция – способ нахождения промежуточых значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

В научных и инженерных расчётах часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Например, известны некоторые значения функции – физической величины, замеренные через один час. Необходимо найти значения в промежутках через 30 мин.

Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, т. е. интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрщённой функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция, но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Наиболее часто встречающимся видом точечной аппроксимации является интерполяция. Пусть задан дискретный набор точек x_i (i = 0, 1, …, n), называемых узлами интерполяции, причём среди этих точек нет совпадающих, а также значения функции y_i в этих точках. Требуется построить функцию g (x), проходящую через все заданные узлы. Таким образом, критерием близости функции является g (x_i) = y_i. В качестве функции g (x) обычно выбирается полином, который называют интерполяционным полиномом. В том случае, если полином един для всей области интерполяции, говорят, что интерполяция глобальная.

В тех случаях, когда между различными узлами полиномы различны, говорят о кусочной или локальной интерполяции. Найдя интерполяционный полином, можно вычислить значения функции f (x) между узлами (провести интерполяцию в узком смысле слова), а также определить значение функции f (x) даже за пределами заданного интервала (провести экстраполяцию).

Пусть имеется n значений x_i, каждому из которых соответствует своё значение y_i. Требуется найти такую функцию F, что:

При этом:

· x_i называют узлами интерполяции;

· пары (x_i, y_i) называют точками данных;

· разницу между соседними значениями (x_i – x_{i – 1}) называют шагом;

· функцию F (x) – интерполирующей функцией или интерполянтом.

Задача интерполирования состоит в том, чтобы по значениям функции в некоторых точках восстановить её значения в остальных точках отрезка. Функция F называется интерполирующей, точки x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n – узлами интерполяции.

Будем искать функцию F в виде полинома степени n:

Можно найти коэффициенты a_i, i = 0, 1, 2, …, n, при этом получим систему из (n + 1) уравнений с (n + 1) неизвестными

Эта система имеет единственное решение, так как по нашему предположению все x_i различны. Решая эту систему относительно неизвестных a ₀, a ₁, a ₂, …, a_n, получим аналитическое выражение полинома.

Описанный приём можно использовать при решении задач интерполирования, но на практике используют другие более удобные и менее трудоёмкие методы.