Решение. Вычисление суммы ряда с заданной точностью ε следует производить до тех пор, пока не выполнится условие
Вычисление суммы ряда с заданной точностью ε следует производить до тех пор, пока не выполнится условие | un | ≤ ε. В данном примере вычисление суммы ряда необходимо производить до тех пор, пока очередной член ряда по абсолютной величине не будет меньше ε = 0.001. Обозначим n –й член ряда через . Тогда алгоритм нахождения суммы ряда будет иметь вид: y = y + U. При составлении программы определяем последующий член ряда через предыдущий: , при этом . Схема алгоритма вычисления суммы ряда приведена на рисунке 19.1.
Рисунок 19.1 – Схема алгоритма вычисления суммы ряда
[kgl].
[gl] Тема 20. Разложение функций в степенные ряды. Приближённые вычисления значений функции с помощью степенных рядов [:]
Степенные ряды широко используются в теоретических исследованиях и в приближённых вычислениях. Для приложений важно уметь данную функцию f (x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f (x) представлять в виде суммы степенного ряда. Как известно, для любой функции f (x), определённой в окрестности точки x 0 и имеющей в ней производные до (n + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора: , (20.1) где , – остаточный член в форме Лагранжа. Формулу (20.1) кратко можно записать в виде , где – полином Тейлора. Если функция f (x) имеет производные любых порядков в окрестности точки x 0 и остаточный член Rn (x) стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f (x) по степеням (x – x 0), называемое рядом Тейлора: . (20.2) Если в ряде Тейлора положить x 0 = 0, то получим разложение функции по степеням x в так называемый ряд Маклорена: (20.3) Пусть для функции f (x) составлен соответствующий ряд Тейлора. Для того, чтобы ряд Тейлора (20.2) функции f (x) сходился к f (x) в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (20.1) стремился к нулю при n → ∞, т. е. чтобы . Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена) Для разложения функции f (x) в ряд Маклорена (20.3) нужно: a) найти производные ; b) вычислить значения производных в точке x 0 = 0; c) написать ряд (20.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости; d) найти интервал (– R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена Rn (x) → 0 при n → ∞. Если такой интервал существует, то в нём функция f (x) и сумма ряда Маклорена совпадают. Приведём таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций , , (20.4) , , (20.5) , , (20.6) , (20.7) , , (20.8) , , (20.9) , , (20.10) , , (20.11) , , (20.12) , , (20.13) Докажем формулу (20.4). Пусть f (x) = ex. Имеем: a) ; b) ; c) ; , т. е. ряд сходится в интервале ; d) для всех имеем , т. е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом M = eR. Следовательно, . Таким образом, . Докажем формулу (20.5). Пусть f (x) = sin x. Имеем: a) ; b) c) . Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех ; d) Любая производная функции f (x) = sin x по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, имеет место разложение (20.5). Докажем формулу (20.6). Пусть f (x) = cos x. Проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством, что степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. После этого получим: , .
|