Решение. Вычисление суммы ряда с заданной точностью ε следует производить до тех пор, пока не выполнится условие

Вычисление суммы ряда с заданной точностью ε следует производить до тех пор, пока не выполнится условие

| u_n | ≤ ε.

В данном примере вычисление суммы ряда

необходимо производить до тех пор, пока очередной член ряда по абсолютной величине не будет меньше ε = 0.001. Обозначим n –й член ряда через

.

Тогда алгоритм нахождения суммы ряда будет иметь вид: y = y + U.

При составлении программы определяем последующий член ряда через предыдущий:

, при этом .

Схема алгоритма вычисления суммы ряда приведена на рисунке 19.1.

 

Начало

Конец

n = n + 1

S = S + U

Ввод x, ε, S, n, U

Вывод S

Нет

Да

| U | > ε

U = – U ·(x /2)

 

 

Рисунок 19.1 – Схема алгоритма вычисления суммы ряда

 

 

[kgl].

 

[gl] Тема 20. Разложение функций в степенные ряды. Приближённые вычисления значений функции с помощью степенных рядов [:]

 

Степенные ряды широко используются в теоретических исследованиях и в приближённых вычислениях.

Для приложений важно уметь данную функцию f (x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f (x) представлять в виде суммы степенного ряда.

Как известно, для любой функции f (x), определённой в окрестности точки x ₀ и имеющей в ней производные до (n + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

, (20.1)

где , – остаточный член в форме Лагранжа. Формулу (20.1) кратко можно записать в виде

,

где – полином Тейлора.

Если функция f (x) имеет производные любых порядков в окрестности точки x ₀ и остаточный член R_n (x) стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f (x) по степеням (x – x ₀), называемое рядом Тейлора:

. (20.2)

Если в ряде Тейлора положить x ₀ = 0, то получим разложение функции по степеням x в так называемый ряд Маклорена:

(20.3)

Пусть для функции f (x) составлен соответствующий ряд Тейлора.

Для того, чтобы ряд Тейлора (20.2) функции f (x) сходился к f (x) в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (20.1) стремился к нулю при n → ∞, т. е. чтобы .

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f (x) в ряд Маклорена (20.3) нужно:

a) найти производные ;

b) вычислить значения производных в точке x ₀ = 0;

c) написать ряд (20.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

d) найти интервал (– R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена R_n (x) → 0 при n → ∞. Если такой интервал существует, то в нём функция f (x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Приведём таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций

, , (20.4)

, , (20.5)

, , (20.6)

,

(20.7)

, , (20.8)

, , (20.9)

, , (20.10)

,

, (20.11)

, , (20.12)

, , (20.13)

Докажем формулу (20.4). Пусть f (x) = e^x.

Имеем:

a) ;

b) ;

c) ; , т. е. ряд сходится в интервале ;

d) для всех имеем , т. е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом M = e^R. Следовательно, . Таким образом, .

Докажем формулу (20.5). Пусть f (x) = sin x.

Имеем:

a) ;

b)

c) . Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех ;

d) Любая производная функции f (x) = sin x по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, имеет место разложение (20.5).

Докажем формулу (20.6). Пусть f (x) = cos x.

Проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством, что степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. После этого получим:

, .