Решение. N = 0, 1, 2 (три узла интерполяции).

N = 0, 1, 2 (три узла интерполяции).

– уравнение параболы, проходящей через точки (x ₀, y ₀), (x ₁, y ₁), (x ₂, y ₂);

.

Построим график этой функции (рисунок 18.1) и отметим узловые точки M_i (x_i, y_i). Это квадратичная парабола с вертикальной осью симметрии. Её график проходит через три заданные точки.

 

O

y = 2 x 3 – 12 x + 22

M 1

x

y

M 2

M 3

 

Рисунок 18.1 – График полученной функции

[kgl].

 

[gl] Тема 19. Числовые ряды. Частные суммы. Вычисление суммы рядов. Схема алгоритма вычисления суммы [:]

 

Ряды играют исключительную роль в математике как очень эффективное средство математического исследования и моделирования. Известные всем таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т. п. составляются с помощью рядов для этих функций. Точное значение числа π также получается с помощью ряда.

Понятие суммы конечного числа чисел и свойства суммы были известны уже в древнейшие времена. С частными примерами сумм бесконечных рядов, например, с суммой членов убывающей геометрической прогрессии, математики имели дело уже во времена Архимеда. Успешно пользовались рядами Ньютон, Ляйбниц, Эйлер, Гаусс. Однако точная теория рядов, основанная на понятии предела последовательности и содержащая доказательства основных теорем, была построена в первой половине XIX в. в основном Коши. С тех пор ряды стали незаменимым средством для математики, появились разделы математики, например, теория аналитических фунций, целиком основанные на теории рядов.

Сумма членов бесконечной числовой последовательности u ₁, u ₂, …, u_n, … называется числовым рядом.

,

при этом числа u ₁, u ₂, … будем называть членами ряда, а u_n – общим членом ряда.

Суммы называются частичными (частными, парциальными) суммами ряда

,

,

,

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда . При этом разность между суммой S и частичной суммой S_n называется n -м остатком ряда R_n = S – S_n.

Так как S есть предел последовательности S_n, то очевидно:

.

Поэтому, взяв достаточно большое число членов сходящегося ряда, сумму этого ряда можно вычислить с необходимой степенью точности.

Для сходящегося ряда его n –й член u_n при неограниченном возрастании номера n стремится к нулю, т. е. ; .

Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм

.

Если последовательность частных сумм ряда расходится, т. е. не имеет предела или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему неставят в соответствие никакой суммы.

Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна CS (C ≠ 0).

Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и σ, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + σ:

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

 

Пример 19.1. С помощью радикального признака Коши исследовать ряд на сходимость.