Решение. Подынтегральная функция на отрезке a = 0 и b = 1 равна .

Подынтегральная функция на отрезке a = 0 и b = 1 равна .

Находим шаг вычислений

.

Отсюда точки иртегрирования:

.

Тогда по формуле трапеций имеем

.

Ответ: .

Пример 16.2. Пользуясь формулой трапеций вычислить определённый интеграл

.

 

Пример 16.3. Пользуясь формулой трапеций вычислить определённый интеграл

.

 

[kgl].

 

[gl] Тема 17. Метод Симпсона (парабол). Геометрическая инртерпретация метода [:]

 

Если заменить график функции y = f (x) на каждом отрезке [ x _{I – 1}; x_i ] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближённого вычисления интеграла .

Предварительно найдём площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы y = ax ² + bx + c (с осью симметрии, параллельной оси ординат Oy), сбоку – прямыми x = – h, x = h и снизу – отрезком [– h; h ].

Пусть парабола проходит через три точки , где – ордината параболы в точке x = – h; y ₁ = c – ордината параболы в точке x = 0; – ордината параболы в точке x = h (рисунок 17.1).

 

M 3

y = ax 2 + bx + c

M 2

M 1

y 0

y 1

y 2

y

– h

O

h

x

 

 

Рисунок 17.1 – К элементарной формуле парабол

Площадь S равна

. (17.1)

Выразим эту площадь через h, y ₀, y ₁, y ₂. Из равенств для ординат y_i находим, что . Подставляя эти значения c и a в равенство (17.1), получаем

. (17.2)

Получим теперь формулу парабол для приближённого вычисления интеграла .

Для этого отрезок [ a; b ] разобьём на 2 n частей (отрезков) длиной точками .

В точках деления вычисляем значения подынтегральной функции f (x): , где y_i = f (x_i) (рисунок 17.2).

 

y

x

y = f (x)

y 0

y 1

y 2

y 2 n – 2

y 2 n – 1

y 2 n

x 2 n – 2

x 2 n – 1

x 2 n = b

x 2

x 1

x 3

a = x 0

O

 

Рисунок 17.2 – Приближённое вычисление интеграла по формуле Симпсона (парабол)

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2 n. На отрезке [ x ₀, x ₂] парабола проходит через три точки (x ₀; y ₀), (x ₁; y ₁); (x ₂; y ₂). Используя формулу (17.2), находим

.

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

(17.3)

Формула (17.3) называется формулой парабол (или Симпсона).

 

Пример 17.1. Вычислить приближённо определённый интеграл , разбив отрезок [0; 2] на 4 части.