Метод прямоугольников

Разделим отрезок [ a; b ] на n равных частей, т. е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка . Точками деления будут:

.

Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f (х) в узлах, обозначим их y ₀, y ₁, y ₂, …, y_n. Стало быть,

Числа y ₀, y ₁, y ₂, …, y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n (рисунок 15.1).

 

y

x

x 0

x 1

xn

f 0

f 1

y

x

x 0

x 1

xn

fn

f 1

y

x

x

x 2

xn

f (x)

a

b

c

 

 

Рисунок 15.2 – Методы левых (a), правых (b) и средних (c) прямоугольников

Из рисунка 15.2 видно, что площадь криволинейной трапеции приближённо заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определённого интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников

(15.2)

(15.3)

(15.4)

Формула (15.2) называется формулой левых прямоугольников, (15.3) – правых прямоугольников, (15.4) – формулой средних прямоугольников (15.2).

Алгоритм вычисления интеграла по формуле левых прямоугольников показан на рисунке (15.3).

 

 

Начало

Конец

Цикл закончен

A, B, N

H:= (B – A)/N S:= 0

X·B:= A

I:= 0, N – 1, 1

X:= X·B + I·H

S:= S + F(X)·H

S

 

Рисунок 15.3 – Схема алгоритма вычисления интеграла

 

Пример 15.1. С помощью метода левых и правых прямоугольников вычислить определённый интеграл

, полагая n = 4.