Интерполяционный полином Лагранжа

Пусть функция f (x) задана таблицей. Построим интерполяционный полином L_n (x), степень которого не больше n и выполняются условия: L_n (x_i) = y_i, i = 0, 1, 2, …, n. Будем искать L_n (x) в виде

,

где p_i (x) – полином степени n;

, т. е. p_i (x) только в одной точке отличен от нуля при i = j, а в остальных точках он обращается в нуль. Следовательно, все эти точки являются для него корнями:

;

при x = x_i

;

;

подставим c в формулу p_i (x), получим:

,

отсюда

Это и есть интерполяционный полином Лагранжа. По исходной таблице формула позволяет весьма просто составить внешний вид полинома.

Пример 18.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблично

x
y

 

Решение

Степень L_n (x) не выше третьей, так как функция задаётся четырьмя значениями:

.

График этой функции представляет собой кубическую параболу.

 

Пример 18.2. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции y = sin(π x), выбрав узлы .

Решение

Вычислим соответствующие значения функции:

.

Применяя формулу, получаем

.

 

Пример 18.3. Построить интерполяционный полином степени n ≤ 2, принимающий в точках x ₀ = 1, x ₁ = 3, x ₂ = 5 соответственно значения y ₀ = 2, y ₁ = 1, y ₂ = 8.

Решение

По формуле запишем:

.

Преобразовав, получим:

.

Пример 18.4. Построить интерполяционный полином Лагранжа для трёх узлов интерполяции:

x	x 0	x 1	x 2
y	y 0	y 1	y 2

 

x
y