Интерполяционный полином Лагранжа
Пусть функция f (x) задана таблицей. Построим интерполяционный полином Ln (x), степень которого не больше n и выполняются условия: Ln (xi) = yi, i = 0, 1, 2, …, n. Будем искать Ln (x) в виде
где pi (x) – полином степени n;
при x = xi
подставим c в формулу pi (x), получим:
отсюда
Это и есть интерполяционный полином Лагранжа. По исходной таблице формула позволяет весьма просто составить внешний вид полинома. Пример 18.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблично
Решение Степень Ln (x) не выше третьей, так как функция задаётся четырьмя значениями:
График этой функции представляет собой кубическую параболу.
Пример 18.2. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции y = sin(π x), выбрав узлы Решение Вычислим соответствующие значения функции:
Применяя формулу, получаем
Пример 18.3. Построить интерполяционный полином степени n ≤ 2, принимающий в точках x 0 = 1, x 1 = 3, x 2 = 5 соответственно значения y 0 = 2, y 1 = 1, y 2 = 8. Решение По формуле запишем:
Преобразовав, получим:
Пример 18.4. Построить интерполяционный полином Лагранжа для трёх узлов интерполяции:
|
,
, т. е. pi (x) только в одной точке отличен от нуля при i = j, а в остальных точках он обращается в нуль. Следовательно, все эти точки являются для него корнями:
;
;
;
,
.
.
.
.
.
.
