Непараметрические критерии
Непараметрические методы обладают меньшей чувствительностью, чем параметрические. Применение рассмотренных в предыдущем разделе параметрических критериев было связано с целым рядом допущений. Например, сравнивая выборочные средние значения с помощью t -критерия, принимались следующие предположения: обе выборки являются случайными, т. е. каждая из них получена в результате независимых измерений; обе выборки получены из генеральных совокупностей, имеющих нормальное распределение; дисперсии генеральных совокупностей равны между собой. На практике эти предположения строго никогда не выполняются, поэтому применение параметрических критериев всегда связано с опасностью ошибочных выводов, возникающей из-за нарушения принятых допущений. В математической статистике в этом случае применяются непараметрические методы, применение которых зависит от меньшего числа допущений. Условия применения непараметрических методов: 1) несоответствие распределения значений в генеральной выборке нормальному закону; 2) слишком малая выборка, чтобы судить о законе распределения; 3) невыполнение требования о гомогенности дисперсии при сравнении средних значений для независимых выборок; 4) наличие в выборке выбросов (экстремально больших или экстремально малых значений). Важную группу непараметрических критериев составляют ранговые критерии. Ниже рассматриваются некоторые из ранговых критериев. Но предварительно следует познакомиться с понятием «ранг», играющим здесь ключевую роль. Ранги Ранжированная выборка получается, если расположить выборочные данные в порядке возрастания или убывания. Рангом выборочного значения называется порядковый номер этого значения. Ранг однозначно определен порядковым номером, если в выборке нет совпадающих значений. Если же они есть, то их ранги определяются как среднее арифметическое порядковых номеров совпадающих значений. Рангами могут быть представлены данные, выраженные в порядковой шкале, в том числе результаты наблюдения качественных признаков, когда невозможно измерить точное численное значение признака, но можно определить очередность значений по принципу «больше-меньше» (например, места в спортивных состязаниях, результаты судейства в баллах, оценки за экзамен и т. п.).
Значения с порядковыми номерами 3, 4, 5 и 8, 9 совпали, поэтому их ранги R определяются как R = (3 + 4 + 5)/3 = 4 и R = (8 + 9)/2. Таким образом, ранг не обязательно будет целым числом. Сравнение двух независимых выборок (критерий U-Манна-Уитни) Считается, что критерий U -Манна-Уитни самый простой ранговый критерий (в отечественной литературе этот критерий иногда называют также критерий Вилкоксона для независимых выборок или критерием Уайта). Применение критерия U -Манна-Уитни основано на единственном предположении: выборки получены из однотипных непрерывных распределений. При этом вид распределения генеральных совокупностей X и Y никак не оговаривается. Допущение о непрерывности распределений может быть принято, когда исследуемый признак имеет большое число возможных градаций. Гипотеза Но: F(x) = F(y) – это утверждение о том, что функции распределения обеих генеральных совокупностей одинаковы. Иначе говоря, обе выборки получены из одной и той же генеральной совокупности и эффект обработки отсутствует. Поясним это более подробно. Поскольку функции распределения F(х) и F(у) равны, то, следовательно, равны и характеристики положения этих распределений (среднее значение и медиана). Поэтому, если эффект оценивается по различию средних арифметических двух выборок, то нулевую гипотезу можно было бы записать в виде Но: μx = μy. В этом случае критерий U -Манна-Уитни является непараметрическим аналогом t -критерия для независимых выборок. Ниже рассматривается применение критерия U -Манна-Уитни на конкретном примере. ´ Задача 2.25 [17]. Результаты в беге на 100 м контрольной и экспериментальной групп студентов вузов на занятиях по физической культуре:
Для проверки правильности этих операций можно использовать тот факт, что сумма всех рангов: RX + RY = n(n + 1)/2 = 20(20+1)/2 = 210. 5. Меньшую из сумм рангов (в данном случае RY = 82,5) принимаем в качестве значения критерия U -Манна-Уитни. 6. Из П 3.6 находим критическое значение критерия U -Манна-Уитни при уровне значимости p = 0,05 и при объемах выборки n1 = 10 и n2 = 10: Up = 78. 7. Вывод: если U ≤ Up различие считается статистически значимым на уровне значимости p (нулевая гипотеза отбрасывается). В противном случае различие статистически незначимо, как в данном случае: 82,5 ≥ 78.
(критерий W -Вилкоксона) Критерий W -Вилкоксона для связанных выборок является непараметрическим аналогом t -критерия. ´ Задача 2.26 [17]. У группы школьников (n =10) до (xi) и после (yi) пребывания в спортивном лагере измеряли жизненную емкость легких (ЖЕЛ)
5. Отмечаем ранги, относящиеся к положительным и отрицательным значениям разностей. 6. Находим по отдельности суммы рангов отрицательных, и положительных разностей R (–) и R (+). Суммы рангов: R (+) = 2,5; R (–) = 42,5. 7. Контроль: R (+) + R (–) = 2,5 + 42,5 = 9(9 + 1)/2 = 45. 8. Меньшую из сумм рангов принимаем в качестве значения критерия W. Для нашего примера W = R (+) = 2,5. 9. Из П 3.7. находим критическое значение Wp критерия W -Вилкоксона при уровне значимости p =0,05 и n =10, W =7. 10. Вывод: если W< Wp, то Н0 отбрасывается и различие связанных выборок является статистически значимым на уровне значимости р. В противном случае различия статистически незначимы. Для нашего примера W < W0,05, поэтому различия статистически значимы на уровне значимости p ≤ 0,05.
|
Сравнение двух связанных выборок
