| | §1 Виды уравнений плоскости
| |
| | 1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
|
Уравнение плоскости, проходящей через три точки  ,  , 
| |
| | 2. Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором
| 
Уравнение плоскости, проходящей через точку  с нормальным вектором 
(нормальный вектор – вектор, перпендикулярный плоскости)
| |
| | 3. Уравнение плоскости в отрезках
|
Уравнение плоскости в отрезках
 ,
где  отрезки, которые отсекает плоскость соответственно на осях  .
| Задача.
Какие отрезки отсекает плоскость  на осях координат.
Решение.
Сведем к уравнению плоскости в отрезках
 ,
 .
Тогда по оси Ох отсекается отрезок, равный 6; по оси Оу – отрезок, равный 4; по оси Оz – отрезок, равный 2.
| |
| | 4. Общее уравнение плоскости
| 
Общееуравнение плоскости
Коэффициенты при переменных x, y и z – это координаты нормального вектора  .
| Задача.
Нормальный вектор плоскости  имеет координаты
Варианты ответов: 1) 
2)  3) 
4) 
Решение.
Координаты нормального вектора – это коэффициенты при переменных  и  . 
Ответ. №1.
| |
| | Задача.
Плоскости  принадлежат точки…
Варианты ответов: 1)  2)  3)  4) 
Решение.
Точка принадлежит плоскости, если ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости.
С:  . С принадлежит плоскости
Е: 
D: 
А:  . А принадлежит плоскости
Ответ. точки С и А принадлежат плоскости.
Задача.
Если точка  принадлежит плоскости  , то коэффициент С равен…
Решение.
Подставим координаты точки в уравнение плоскости
Ответ.
| |
| §2 Частные случаи общего уравнения плоскости
|
5. Плоскость 
| 
Плоскость (xOy): 
| Задача:
Установить соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве.
1) 
2) 
3) 
4) 
Варианты ответов: А) параллельна оси
В) проходит через начало координат
С) параллельна оси 
D) проходит через ось
Е) параллельна оси 
Решение.
1) .
Отсутствует переменная . Тогда параллельна оси  .
2) . Отсутствует переменная . Тогда параллельна оси  .
3)  . Отсутствует переменная . Тогда параллельна оси  .
4)  . Отсутствует свободный член. Тогда плоскость проходит через начало координат.
|
6. Плоскость 
| 
Плоскость (xOz): 
|
7. Плоскость 
| 
Плоскость (yOz): 
|
| 8. Плоскость, параллельная
|  Плоскость, параллельная (xOy):
 или 
(в уравнении отсутствуют переменные и )
|
| 9. Плоскость, параллельная
|  Плоскость, параллельная (xOz):
 или 
(в уравнении отсутствуют переменные и )
|
| 10. Плоскость, параллельная
|  Плоскость, параллельная (yOz):
 или 
(в уравнении отсутствуют переменные и )
|
| 11. Плоскость проходит через начало координат
|  Плоскость проходит через начало координат
|
| 12. Плоскость, параллельная оси
|  Плоскость, параллельная оси Ox: 
(в уравнении отсутствует переменная )
| Ответ.  
 
|
| 13. Плоскость, параллельная оси
|  Плоскость, параллельная оси Oz:
(в уравнении отсутствует переменная )
|
| 14. Плоскость, параллельная оси
|  Плоскость, параллельная оси Oy: 
(в уравнении отсутствует переменная )
|
| 15. Расстояние от точки до плоскости
| Расстояние от точки до плоскости вычисляется пор формуле
|
§3 Взаимное расположение плоскостей
Пусть даны плоскости  и 
|
| 16. Условие
перпендикулярности плоскостей
| 
| Задача.
Найти угол между плоскостями  и  .
Решение.
Нормальный вектор плоскости имеет координаты  . Для второй плоскости  . Воспользуемся формулой вычисления угла
 ,  .
Ответ.  .
|
| 17. Условие
параллельности плоскостей
| 
|
| 18. Угол между плоскостями
| 
|
| | | | | | | | | |
