Основные методы интегрирования
| 1. Непосредственное интегрирование
| 1)  , 
2) 
3) 
| а)  
б) 
| | 2. Внесение функции под знак дифференциала
| | Таблица дифференциалов
|
а) 
б) 
в)  
| 1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
| 9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14.  .
| | | | | |
3. Правило подстановки 
| Подстановка 
| а)  
б) 
| 4. Интегрирование по частям 
| 1)  2) 
3) 
| а) 
б) 
| | | | |
| 5. Интегрирование простейших дробей
| 1) 
2) 
3) 
| а) 
б) 
в)  
 
 .
| | 6. Интегрирование рациональных дробей
| | 1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделить целую часть).
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
| 
Дробь  правильная. Представим ее в виде суммы простейших дробей:
 , приведем к общему знаменателю
|
| 3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
| 
 ;
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
 ; 
Значит:
| | 7. Интегрирование тригонометрических функций
| 7.1. 
| Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул
|
а) 
| 7.2.  ,
где  и  - целые числа
|
Если m – нечетное положительное, то подстановка  .
Если n – нечетное положительное, то подстановка  .
Если  - четное отрицательное, то подстановка  .
Если и - четные неотрицательные, то применяются формулы:
 ; 
| б) 
|
7.3. 
| Универсальная подстановка  , тогда
 ;  ;
 ;  .
Если  , то подстановка ;
Если  , то подстановка ;
Если  , то подстановка .
| в) 
  
| | | | | |
| 8. Интегрирование иррациональных функций
|
8.1. 
8.2. 
8.3. Квадратичные
иррациональности
8.4. Интегралы типа
8.5. Дифференциальный
бином
 ,
где
 - рациональные числа,
а, b – действительные числа
|
Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой  , где  - наименьшее общее кратное знаменателей дробей 
Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой 
Под радикалом выделить полный квадрат
 и сделать подстановку 
Подстановка 
Подстановка 
Подстановка 
1-й случай
а) если р – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки  по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней;
б) если р – целое отрицательное число, то подстановка , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби;
2-й случай
если  - целое число, то применяется подстановка  , где - знаменатель дроби р;
3-й случай
если  - целое число, то применяется подстановка  , где - знаменатель дроби 
| 
|
Задача.
Первообразными функции  являются
Варианты ответов: 1)  2)  3)  4) 
Решение.
Т.к.  , то  , тогда 
Ответ. №4
Задача.
Множество первообразных функции  имеет вид
Варианты ответов: 1)  2)  3)  4) 
Решение.
Ответ. №1
Задача.
В неопределенном интеграле  введена новая переменная  . Тогда интеграл принимает вид
Варианты ответов: 1)  2)  3)  4) 
Решение.
Ответ. №4
Задача.
Установите соответствие между интегралом и его значением
1.  2.  3.  4. 
Варианты ответов: а)  в)  с)  d)  е) 
Решение.
1) 
2) 
3)  4) 
Ответ.    
|
Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...
|
Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...
|
Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...
|
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...
|
Стресс-лимитирующие факторы Поскольку в каждом реализующем факторе общего адаптационного синдрома при бесконтрольном его развитии заложена потенциальная опасность появления патогенных преобразований...
ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ ЛИЧНОСТИ В современной психологической литературе встречаются различные термины, касающиеся феноменов защиты...
Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...
|
Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...
Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...
Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор,
если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...
|
|
