Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
| 1) ,
2)
3)
| а)
б)
| 2. Внесение функции под знак дифференциала
| Таблица дифференциалов
|
а)
б)
в)
| 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
| 9.
10.
11.
12.
13.
14. .
| | | | |
3. Правило подстановки
| Подстановка
| а)
б)
| 4. Интегрирование по частям
| 1) 2)
3)
| а)
б)
| | | |
5. Интегрирование простейших дробей
| 1)
2)
3)
| а)
б)
в)
.
| 6. Интегрирование рациональных дробей
| 1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделить целую часть).
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
|
Дробь правильная. Представим ее в виде суммы простейших дробей:
, приведем к общему знаменателю
|
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
|
;
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
;
Значит:
| 7. Интегрирование тригонометрических функций
| 7.1.
| Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул
|
а)
| 7.2. ,
где и - целые числа
|
Если m – нечетное положительное, то подстановка .
Если n – нечетное положительное, то подстановка .
Если - четное отрицательное, то подстановка .
Если и - четные неотрицательные, то применяются формулы:
;
| б)
|
7.3.
| Универсальная подстановка , тогда
; ;
; .
Если , то подстановка ;
Если , то подстановка ;
Если , то подстановка .
| в)
| | | | |
8. Интегрирование иррациональных функций
|
8.1.
8.2.
8.3. Квадратичные
иррациональности
8.4. Интегралы типа
8.5. Дифференциальный
бином
,
где
- рациональные числа,
а, b – действительные числа
|
Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей
Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой
Под радикалом выделить полный квадрат
и сделать подстановку
Подстановка
Подстановка
Подстановка
1-й случай
а) если р – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней;
б) если р – целое отрицательное число, то подстановка , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби;
2-й случай
если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби р;
3-й случай
если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби
|
|
Задача.
Первообразными функции являются
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Т.к. , то , тогда
Ответ. №4
Задача.
Множество первообразных функции имеет вид
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Ответ. №1
Задача.
В неопределенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл принимает вид
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Ответ. №4
Задача.
Установите соответствие между интегралом и его значением
1. 2. 3. 4.
Варианты ответов: а) в) с) d) е)
Решение.
1)
2)
3) 4)
Ответ.
|
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
|
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...
|
Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...
|
Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...
|
Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...
Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются:
• лаконичность...
Этапы и алгоритм решения педагогической задачи Технология решения педагогической задачи, так же как и любая другая педагогическая технология должна соответствовать критериям концептуальности, системности, эффективности и воспроизводимости...
|
Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...
Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P
1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...
Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...
|
|