3. Формула интегрирования по частям
| Задача.
Вычислить интеграл .
Решение.
.
Ответ. .
|
|
4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
|
|
Задача.
Вычислить интеграл .
Решение.
.
Ответ. 0.
| Задача.
Вычислить интеграл .
Решение.
.
Ответ. .
|
|
§2 Несобственные интегралы
|
|
Несобственные интегралы I рода
|
|
Если функция непрерывна на , то
(*)
Если функция непрерывна на , то
(**)
Если функция непрерывна на , то
(***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: .
Решение.
, интеграл сходится.
|
|
Несобственные интегралы II рода
|
|
Если - непрерывна на и имеет бесконечный разрыв при , то
. (*)
Если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то
. (**)
Если терпит бесконечный разрыв внутри отрезка , т.е. в точке , , то
. (***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
Решение.
, интеграл расходится.
|
|
§3 Геометрические приложения определенного интеграла
|
|
Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат
| Площадь плоской фигуры в полярной системе координат
|
|
,
|
- непрерывна на ,
|
|
Задача.
Площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой , вычисляется с помощью интеграла…
Варианты ответов: 1) 2) 3)
4)
Решение.
, следовательно, .
На отрезке график функции расположен выше графика функции , поэтому
Ответ. №3.
|
|
Длина дуги плоской кривой в декартовой системе координат
|
,
| Задача.
Найти длину дуги кривой от до .
Решение.
Так как , то ; .
.
.
Ответ. .
|
|
,
|
|
Длина дуги плоской кривой в полярной системе координат
|
,
|
|
Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде на плоскости
|
|
|
Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде в пространстве
|
|
|
|
| Объем
| Площадь поверхности
|
Объем и площадь поверхности тела вращения
Кривая , вращается вокруг оси
Кривая , вращается вокруг оси
|
|
|
|
§4 Применение определенного интеграла к решению некоторых задач физики
|
Вычисление работы
| Вычисление работы переменной силы , при перемещении точки вдоль оси из положения в положение
|
|
Вычисление пути
| Путь пройденный телом за промежуток времени от до со скоростью
|
|
| | | | | | | | | | | | | | |