Глава 13. Определенный интеграл
| §1 Вычисление определенного интеграла
| 1. Формула Ньютона-Лейбница
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
 .
Ответ. 9.
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
Ответ.  .
| 2. Замена переменной в определенном интеграле
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
  .
Ответ.  .
|
3. Формула интегрирования по частям
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
 
 .
Ответ.  .
|
| 4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
|
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
  .
Ответ. 0.
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
   .
Ответ.  .
|
| | §2 Несобственные интегралы
|
| | Несобственные интегралы I рода
|
| Если функция  непрерывна на  , то
 (*)
Если функция непрерывна на  , то
 (**)
Если функция непрерывна на  , то
  (***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:  .
Решение.
 , интеграл сходится.
|
| | Несобственные интегралы II рода
|
| Если - непрерывна на  и имеет бесконечный разрыв при  , то
 . (*)
Если функция терпит бесконечный разрыв в точке  , то
 . (**)
Если терпит бесконечный разрыв внутри отрезка  , т.е. в точке  ,  , то
 . (***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 
Решение.
 , интеграл расходится.
|
| | §3 Геометрические приложения определенного интеграла
|
| | Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат
| Площадь плоской фигуры в полярной системе координат
|
|  , 
 
|
 - непрерывна на  , 
|
| Задача.
 Площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой  , вычисляется с помощью интеграла…
Варианты ответов: 1)  2)  3) 
4) 
Решение.
 , следовательно,  .
На отрезке  график функции расположен выше графика функции , поэтому
 
Ответ. №3.
|
| | Длина дуги плоской кривой в декартовой системе координат
| 
 , 
| Задача.
Найти длину дуги кривой  от  до   .
Решение.
Так как  , то  ;  .
 .
 .
Ответ.  .
|
|
 , 
|
| | Длина дуги плоской кривой в полярной системе координат
|
 , 
|
| | Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде на плоскости
|
 
|
| | Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде в пространстве
|
|
| |
|
| Объем
| Площадь поверхности
| Объем и площадь поверхности тела вращения
Кривая  , вращается вокруг оси 
Кривая  ,  вращается вокруг оси 
|  
|
|
| | §4 Применение определенного интеграла к решению некоторых задач физики
| | Вычисление работы
| Вычисление работы переменной силы  , при перемещении точки вдоль оси из положения  в положение 
| 
| | Вычисление пути
| Путь пройденный телом за промежуток времени от  до  со скоростью 
| 
| | | | | | | | | | | | | | | | |
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
|
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...
|
Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...
|
Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...
|
Весы настольные циферблатные Весы настольные циферблатные РН-10Ц13 (рис.3.1) выпускаются с наибольшими пределами взвешивания 2...
Хронометражно-табличная методика определения суточного расхода энергии студента Цель: познакомиться с хронометражно-табличным методом определения суточного расхода энергии...
ОЧАГОВЫЕ ТЕНИ В ЛЕГКОМ Очаговыми легочными инфильтратами проявляют себя различные по этиологии заболевания, в основе которых лежит бронхо-нодулярный процесс, который при рентгенологическом исследовании дает очагового характера тень, размерами не более 1 см в диаметре...
|
Педагогическая структура процесса социализации Характеризуя социализацию как педагогический процессе, следует рассмотреть ее основные компоненты: цель, содержание, средства, функции субъекта и объекта...
Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической
Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....
Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...
|
|
