Студопедия — РЕШЕНИЯ. 1. Решение. Нет, поскольку не выполняется первая аксиома
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

РЕШЕНИЯ. 1. Решение. Нет, поскольку не выполняется первая аксиома






1. Решение. Нет, поскольку не выполняется первая аксиома. Если , то , т.е. на отрезке . Но, вообще говоря, на всем отрезке .

2. Решение. Нет, не выполняется первая аксиома. Если , то на отрезке . Поэтому , которая может не обращаться в нуль.

3. Решение. Да. В этом случае постоянная, которая появляется, как и в предыдущей задаче должна обращаться в нуль. Нетрудно доказываются другие аксиомы.

4. Решение. Нет, поскольку не выполняется вторая аксиома. В силу второй аксиомы нормы для любых вещественных чисел и должно выполняться соотношение

.

Положив здесь , , получаем , что неверно.

5. Решение. Первые две аксиомы проверяются без труда. Проверим аксиому треугольника. Имеем

. Так как это неравенство справедливо при всех , то получим

.

Суммируя это неравенство, когда пробегает от 0 до , получим неравенство треугольника.

6. Решение. По условию существует ненулевой элемент, т.е. такой элемент , что . Пусть - произвольное неотрицательное число. Положим , тогда . Утверждение доказано.

7. Решение. Согласно задачи 6, существует такой элемент , что . Тогда элемент лежит на сфере.

8. Решение. Для любых имеем

.

Далее в шаре есть такая точка , что . Точка также лежит в указанном шаре, причем

.

Если бы мы имели и , то с одной стороны , а с другой стороны , так как . Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.

9. Доказательство. Пусть , т.е. , . Возьмем произвольный элемент вида , . Имеем

.

Итак , и, следовательно, .

10. Доказательство. Пусть и . Рассмотрим произвольный шар . Точки вид попадают в шар при больших . Но , в противном случае и точка принадлежала бы линейному многообразию . Следовательно, никакой шар не может принадлежать данному многообразию .

11. Доказательство. Пусть в бесконечномерном банаховом пространстве существует счетный алгебраический базис . Это означает, что каждый элемент представляется в виде конечной суммы

,

причем зависит от элемента . Рассмотрим последовательность конечномерных подпространств

.

В силу предложения 18 второй главы, линейное многообразие замкнуто и по определению алгебраического базиса

.

По теореме Бэра хотя бы одно из подпространств имеет внутреннюю точку, а согласно задачи 10 линейное многообразие, отличное от всего пространства не имеет внутренних точек. Полученное противоречие доказывает утверждение.

12. Доказательство. Рассмотрим случай, когда имеет размерность один, далее утверждение доказывается методом математической индукции

Обозначим через линейное многообразие, порожденное подпространством и вектором . Требуется доказать замкнутость . Если

, то и поэтому замкнуто. Пусть теперь . Согласно предложения 19 из второй главы, . Линейное многообразие состоит из векторов вида , где . Докажем, что

. (5.1)

Имеем , если , если же , то неравенство (5.1) очевидно.

Далее пусть и , когда ; требуется доказать, что . Пусть , . Применяя неравенство (6.1) к вектору , получим

, .

Поэтому стремится к некоторому пределу и

.

Поскольку замкнуто и , то . Итак, , что и требовалось доказать.

13. Решение. а) Нет. Согласно теоремы Вейерштрасса, линейное многообразие многочленов всюду плотно в пространстве . И поскольку в этом пространстве имеются другие функции, помимо многочленов, то линейное многообразие многочленов не является замкнутым;

б) Да. Линейное многообразие многочленов степени меньше или равно фиксированного является конечномерным и поэтому замкнутым;

в) Да. Сходимость в пространстве означает равномерную сходимость, из которой следует сходимость в каждой точке. Поэтому, если последовательность сходится к и каждый элемент последовательности удовлетворяет условию , то и предельная функция удовлетворяет этому же условию, те. .

г) Да. Сходимость в или равномерная сходимость обеспечивает сходимость соответствующих интегралов. Поэтому, если для каждого элемента последовательности, то и для предельного элемента справедливо равенство: .

14. Доказательство. Пусть последовательность

и при в . Это означает, что для любого существует такое, что для всех справедливо неравенство

.

Отсюда следует

.

При выводе последнего неравенства использовали то, что . И поскольку произвольно, то , т.е. . Следовательно, - подпространство в .

15. Доказательство. Рассмотрим последовательность вида

.

Здесь ровно координат элемента , начиная со второго, равны числу .

Покажем, что . В самом деле

при .

Но . Следовательно, линейное многообразие не является подпространством в . Утверждение доказано.

16. Доказательство. Пусть последовательность

и при в . Для любого найдется такое, что для всех справедливо неравенство

или

, .

Зафиксируем . Поскольку , то последовательность сходится. Поэтому существует такое, что для всех будет

.

С учетом полученных оценок для найдем

.

Отсюда следует, что последовательность является сходящейся. Утверждение доказано.

17.Доказательство. Пункт a) доказывается так же, как и в задаче

13. Далее обозначим через одномерное подпространство, порожденное постоянной функцией . Легко увидеть, что . Произвольную функцию из пространства представим в виде

.

Здесь первое слагаемое принадлежит подпространству , в второе – подпространству . Для завершения доказательства остается применить предложение 7 из первой главы.

18. Решение. Пусть - множество четных непрерывных на отрезке функций. Очевидно, образует линейное многообразие в . Докажем замкнутость. Возьмем последовательность четных функций , которая сходится к функции в пространстве . Тогда

,

откуда следует, что . Аналогично доказывается, что множество всех нечетных непрерывных функций образует подпространство. Далее каждая функция представляется в виде четной и нечетной функций. Учитывая соотношение и применяя предложение 7 из первой главы, получим полное решение задачи.

19. Решение. Нет. Для доказательства в пространстве рассмотрим множество , элементами которого являются последовательности вида

.

Здесь перед ненулевым числом имеется ровно нулей. Легко увидеть, что , если дл. Следовательно, каждая точка множества является изолированной и поэтому множество - замкнуто. Далее возьмем . Тогда , но ни при каком , очевидно,

Задача решена.

20. Доказательство. Очевидно, . Далее из определения нормы следует, что , . Отсюда

.

Тем самым доказана эквивалентность норм.

21. Да. Очевидно, . Представим произвольную функцию в виде

.

Отсюда следует неравенство

, .

Из этого неравенства и определения норм получаем

и эквивалентность двух норм установлена.

22. Доказательство. Положим . Тогда из неравенств

нетрудно получаются неравенства

,

которые и означает эквивалентность двух норм.

23. Доказательство. Согласно предложения 14 из второй главы, две нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда из сходимости по одной норме вытекает ее сходимость по другой норме и наоборот.

Введем в рассмотрение последовательность , . Тогда

, при .

Покажем, что последовательность не сходится по другой норме. Для этого достаточно доказать, что она не является фундаментальной. Имеем

.

Взяв , получим отсюда, что

.

Полученное неравенство и означает, что последовательность не является фундаментальной. Утверждение доказано.

24. Да. То, что норма подчинена норме , проверяется непосредственно:

.

А для доказательства того, что подчинена норме нам потребуется вспомогательное тождество.

Для произвольного фиксированного имеем

. (5.2)

Интегрируя равенство (6.1) по в пределах от до 1 и изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

. (5.3)

Аналогично, проинтегрировав (5.2) по в пределах от 0 до и просуммировав результат с (5.3), получим

, (5.4)

где функция ограничена в квадрате .

С помощью тождества (5.4) уже непосредственно выводится неравенство

Задача полностью решена.

25. Доказательство. Согласно предложения 3 второй главы, метрика,

порожденная нормой, должна обладать свойством положительной однородности: . Покажем, что это свойство в нашем случае не выполняется. Взяв , найдем , . Следовательно,

.

Утверждение доказано.

26. Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что можно

ввести норму. Рассмотрим последовательность ненулевых элементов , где , ,…, ,…. Поскольку элементы ненулевые, то . Положим . Согласно второй аксиомы для нормы .

Далее оценим расстояние между и 0:

,когда .

Следовательно, в метрическом пространстве последовательность стремится к нулю. Но норма , эта же последовательность не стремится к нулю по норме. Утверждение доказано.

27. Рассмотрим последовательность многочленов, где

.

Нетрудно показать, что данная последовательность является фундаментальной по каждой из норм, но не имеет предела в линейном многообразии многочленов.

Второй способ доказательства. В силу задачи 11, в бесконечномерном банаховом пространстве не может существовать счетного алгебраического базиса. Пространство многочленов по определению имеет счетный базис и поэтому не может быть полным относительно какой-нибудь нормы.

28. Пусть - фундаментальная последовательность в пространстве . Тогда для произвольного положительного найдется такой номер , что при

. (5.5)

Поскольку при каждом фиксированном

,

то числовая последовательность - фундаментальна и, следовательно, сходится к некоторому пределу :

.

Составим вектор . Далее из (5.5) для любого натурального имеем

.

Устремляя в этом неравенстве к бесконечности, получаем

. (5.6)

Поскольку это неравенство справедливо для любого , то

. (5.7)

Из сходимости рядов и вытекает сходимость ряда .

И поскольку произвольно, то неравенство (5.7) означает, что

.

Полнота пространства полностью доказана.

29. Пусть - фундаментальная последовательность в пространстве . Это означает, что для произвольного положительного найдется такой номер , что при

. (5.8)

Отсюда следует, что

(5.9)

при любом и .

Последнее неравенство означает, что числовая последовательность - фундаментальна и, следовательно, сходится к некоторому пределу . А теперь в неравенстве (5.9) устремляя к бесконечности, получим

. (5.10)

Отсюда

.

Из этого неравенства и ограниченности последовательности следует ограниченность последовательности . Нам остается доказать, что последовательность сходится к элементу по норме пространства .

Из неравенства (5.10), справедливого при любом , вытекает,

что

при .

А так как произвольно, то

при

и полнота пространства доказана.

30. Пусть - фундаментальная последовательность в пространстве . Выберем подпоследовательность так, чтобы

и рассмотрим ряд

(5.11)

Члены этого ряда неотрицательны и интегралы от его частичных сумм не превосходят . По теореме Леви из теории интеграла Лебега [2,3] ряд (5.11) сходится почти всюду на отрезке . Поскольку абсолютно сходящийся числовой ряд сходится, то также и ряд

сходится почти всюду к некоторой функции

.

Покажем теперь, что подпоследовательность сходится к той же функции по норме. В силу фундаментальности последовательности при любом фиксированном для достаточно больших и имеем

.

Согласно теореме Фату также из теории интеграла Лебега в этом интеграле можно перейти к пределу, когда . В результате получаем

,

откуда следует, что и по норме. А из того, что фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, следует, что и сама последовательность сходится к тому же пределу.

Теорем полностью доказана.

31. Доказательство. Ввиду неполноты пространства существует фундаментальная последовательность , не имеющего предела.

Выберем подпоследовательность так, чтобы

и рассмотрим ряд

. (5.12)

Этот ряд абсолютно сходится, поскольку

.

В то же время частичные суммы ряда (5.12) равны и поэтому образуют расходящуюся последовательность. Утверждение доказано.

32. Доказательство. Пусть замкнуто. Всякая фундаментальная последовательность элементов из сходится, в силу полноты , к некоторому элементу . И поскольку замкнуто, то .

Обратно, пусть полно и является предельной точкой множества . Тогда существует последовательность , сходящаяся к . Но - фундаментальная последовательность и, в виду полноты , сходится к элементу из множества . А из единственности предела следует, что и, следовательно, принадлежит множеству . Утверждение доказано.

33. Доказательство. Если при , то шары имеют общую точку по теореме 3 из третьей главы. В противном случае или стабилизируются и тогда соответственно шары совпадают ил же, наконец, , . В последнем случае последовательность шаров с теми же центрами, радиусы которых равны , является вложенной и по доказанному имеет непустое пересечение. Утверждение доказано.

34. Для доказательства приведем примеры. Пример 1. Пусть , ,…, ,… Положив

,

получим требуемую последовательность.

Пример 2. В пространстве рассмотрим множества

.

Нетрудно показать, что в обоих примерах введенные множества удовлетворяют условиям утверждения. Утверждение доказано.

35. Доказательство. Пусть функции и принадлежат одному классу смежности . Тогда или . Взяв в каждом классе смежности по представителю , получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и фактор-пространством . Указанное соответствие является изоморфизмом.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1952. 384с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.:Наука,1976.320с.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.:Наука,1972.496с.

4. Канторович Л. В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.:Наука,1977. 742с.

5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука,1965. 520с.

6. Антоневич А.Б., Радыно Я.В. Функциональный анализ и интегральные уравнения. Мн.:Бгу,2003.430с.

7.Треногин В.А. Функциональный анализ. М.:Наука,1980.496с.

8. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.:Мир,1965.572с.

9. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.:ФИЗМАТЛИТ,2002.240с.

10. Городецкий В.В., Нагнибеда Н.И., Настиев П.П. Методы решения задач по функциональному анализу. Киев:Вища шк.1990.479с.

11. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. М.ПРОСВЕЩЕНИЕ,1978.128с.

12. Эминов С.И.Функциональный анализ. Часть 1. Метрические пространства. В. Новгород 2008.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 940. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...

Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Закон Гука при растяжении и сжатии   Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...

Характерные черты официально-делового стиля Наиболее характерными чертами официально-делового стиля являются: • лаконичность...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Дезинфекция предметов ухода, инструментов однократного и многократного использования   Дезинфекция изделий медицинского назначения проводится с целью уничтожения патогенных и условно-патогенных микроорганизмов - вирусов (в т...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия