Банахово пространство с базисом

Определение 8. Пусть - бесконечномерное банахово пространство. Последовательность элементов из называется базисомШаудера этого пространства, если любой элемент можно представить однозначно в виде

.

Однозначность этого представления равносильна условию, что

тогда и только тогда, когда для всех .

Рассмотрим примеры банаховых пространств с базисомШаудера.

Пример 1. Рассмотрим пространство и элементы , ,…. Покажем, что для любого изпространства имеет местооднозначное представление

.

В самом деле,

и потому

,

как остаток сходящегося ряда. Отсюда

.

И если

,

то

.

Отсюда следует, что и взаимная однозначность доказана.

Пример 2. Рассмотрим пространство непрерывных функций . Базис Шаудера состоит из системы функций

, , , и , (3.9)

где

(3.10)

Разложение непрерывной функции в ряд по введенному базису имеет вид

, (3.11)

где

График частичной суммы

есть ломаная линия с вершинами, лежащими на кривой в точках с равностоящим абсциссами. Можно показать, что функции (3.8) образуют базис Шаудера в пространстве .

 

ЗАДАЧИ

В рассматриваемых ниже задачах предполагается, что нормированное пространстве отлично от нуль-пространства, т.е. содержит ненулевой элемент.

1. Можно ли на линейном многообразии непрерывных функций

за норму элемента принять

.

2. Можно ли на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых на функций за норму элемента принять

.

3. Можно ли на линейном многообразии непрерывно дифференцируемых на функций за норму элемента принять

.

4. Задает ли функция норму на числовой прямой?

5. В линейном многообразии функций, которые непрерывны на отрезке вместе с производными до -го порядка включительно введем норму

,

где - производная функции . Проверить аксиомы нормы.

6. Согласно определения, норма задает отображение нормированного пространства во множество неотрицательных чисел. Доказать, что это отображение сюръективно.

7. Доказать, что никакая сфера не может быть пустым множеством.

8. Пусть и - два замкнутых шара. Доказать, что если

, то .

9. Доказать, что шар (замкнутый шар) в произвольном линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством.

10. Пусть - линейное многообразие, . Доказать, что не содержит никакого шара.

11. Доказать, что в бесконечномерном банаховом пространстве не может существовать счетного алгебраического базиса.

12. Пусть - подпространства. Доказать, что если хотя бы одно их них конечномерно, то - подпространство.

13. Образуют ли в пространстве подпространство следующие линейные многообразия функций:

a) многочлены;

б) многочлены степени меньше или равно фиксированного ;

в) функции , удовлетворяющие условию ;

г) функции , удовлетворяющие условию .

14. Доказать, что линейное многообразие

Является подпространством в нормированном пространстве .

15. Доказать, что линейное многообразие

не является подпространством в нормированном пространстве .

16. В пространстве всех ограниченных числовых последовательностей с нормой рассмотрим линейное многообразие сходящихся последовательностей. Доказать, что образует подпространство.

17. В пространстве рассмотрим множество таких функций ,что . Доказать, что:

a) - подпространство в .

b) существует такое одномерное подпространство , что .

18. Представить пространстве в виде прямой суммы двух бесконечномерных пространств.

19. Пусть является замкнутым множеством в нормированном пространстве , и . Всегда ли найдется такой элемент , что

.

20. Доказать непосредственно, не привлекая теорему 2 из второй главы, эквивалентность следующих двух норм в в пространстве :

, ,

.

21. Эквивалентны ли в пространстве нормы

и

?

22. Доказать, что в линейном многообразии непрерывных на

функций норма эквивалентна норме ,

где непрерывна на и на .

23. Доказать, что в линейном многообразии непрерывных на

функций нормы

и

не эквивалентны.

24. Эквивалентны ли в пространстве нормы

и

?

25. Рассмотрим метрическое пространство всех последовательностей, в котором расстояние между элементами и определяется по формуле

.

Доказать, в пространстве нельзя ввести норму так, чтобы выполнялось равенство

.

26. Доказать, что в пространстве , определенном в задаче 25, нельзя ввести норму такую, чтобы сходимость по норме была эквивалента сходимости по расстоянию в метрическом пространстве.

27. В линейном пространстве многочленов, рассматриваемом на , положим

, .

Доказать неполноту получаемых нормированных пространств.

28. Доказать полноту пространств последовательностей .

29. Доказать полноту пространства всех ограниченных числовых последовательностей.

30. Доказать полноту пространства .

31. Доказать, что в неполном нормированном пространстве существует абсолютно сходящийся, но при этом расходящийся ряд.

32. Доказать, что подмножество банахового пространстве полно тогда и только, когда оно замкнуто.

33. Доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых вложенных замкнутых шаров имеет непустое пересечение.

34. Доказать, что в банаховом пространстве последовательность непустых ограниченных вложенных множеств может иметь пустое пересечение.

35. В пространстве рассмотрим подпространство . Доказать, что фактор-пространство изоморфно .