Фактор - пространства нормированных пространств

Пусть - нормированное пространство, - замкнутое подпространство. Рассмотрим фактор-пространство . В силу замкнутости класс - замкнутое множество в .

Если для положить

, (3.7)

то превратится в нормированное пространство. Проверим справедливость аксиом нормированного пространства.

Если , то в качестве можно взять нулевой элемент пространства и поэтому . Обратно, если , то согласно (3.7) и по свойству нижней грани существует последовательность , такая что . И поскольку класс - замкнут, то содержит предельную точку: и тем самым является нулевым элементом фактор-пространства .

Проверим однородность нормы, рассматривая случай . Имеем

.

Когда пробегает класс , элемент пробегает класс , откуда следует, что

.

Теперь докажем неравенство треугольника. Для произвольных , имеем , поэтому

.

Переходя в правой части к точным нижним граням, получим неравенство треугольника.

Далее докажем, что если - полное пространство, то и фактор-пространство - полно. Вначале заметим, что согласно (3.7) для каждого найдется такой элемент , что

. (3.8)

А теперь возьмем фундаментальную последовательность в пространстве . Переходя, если нужно к подпоследовательности, можно считать, что ряд

сходится. Способ построения указанной подпоследовательности приведен в теореме 2. К последовательности добавим еще - нулевой элемент пространства . Выберем () так, что

.

Тогда ряд сходится и по теореме 2 в силу полноты пространства сходится такжеряд . Положим и обозначим через , содержащий . Поскольку при каждом справедливо включение , то

, при ,

т.е. . Таким образом доказана теорема.

Теорема 5. Фактор – пространство банахова пространства по любому его подпространству есть банахово пространство.