Лемма Рисса. Об одном применении леммы Рисса
Лемма Рисса. Пусть
Доказательство. Поскольку
Из предложения 19 следует, что
Введем в рассмотрение элемент
и докажем, что
При выводе этого неравенства учли, что Рассмотрим одно из применений леммы Рисса. Известно из курса математического анализа, что всякая ограниченная последовательность точек из Пример 1. Рассмотрим бесконечномерное нормированное пространство
Образуем линейную оболочку элементов
Построенная последовательность
ни сама последовательность, ни какая-либо ее подпоследовательность не могут сходиться.
|
- подпространство нормированного пространства 
, причем 
. Для любого числа 
существует элемент 
такой, что
, 
. (2.14)
. Положим
.
. По определению 
, для любого числа 
такой, что
.
, 
- искомый элемент. Вначале заметим, что 
, откуда 
, а это противоречит выбору элемента 
. Далее оценим расстояние от 
.
, а также неравенство 
для 
. Лемма доказана.
содержит сходящуюся подпоследовательность. В бесконечномерном пространстве не из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. С помощью леммы Рисса построим такой пример.
. Обозначим через 
линейную оболочку 
, т.е. совокупность элементов вида 
. Пространство 
. По лемме Рисса найдется элемент 
такой, что
, 
. 
. Заметим, что эта линейная оболочка является замкнутым подпространством, как следует из предложения 18. Продолжая процесс, получим последовательность элементов 
и подпространств 
, таких что
, 
, 
.
, 
, 
