Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ряды в нормированных и банаховых пространствах





Из элементов нормированного пространства составим формальный ряд

(3.3)

и назовем частичной суммой ряда (3.3) сумму первых элементов, т.е. выражение

.

Определение 3. Ряд (3.3) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм. При этом элемент

называется суммой ряда и обозначается

.

Определение 4. Если сходится числовой ряд, составленный из норм

, (3.4)

то ряд (3.3) называется абсолютно сходящимся.

В курсе математического анализа для числовых рядов доказывается, что всякий абсолютно сходящийся числовой ряд сходится.

Как следует из следующей теоремы, это свойство эквивалентно полноте.

Теорема 2. Нормированное пространство является банаховым тогда и только тогда, когда в нем каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство необходимости. Пусть - банахово пространство и числовой ряд (3.4) сходится. Докажем, что частичные суммы образуют фундаментальную последовательность. При имеем

, когда .

Таким образом, последовательность частичных сумм фундаментальна и поэтому сходится в силу полноты пространства , т.е. сходится ряд (3.3). Далее, переходя в неравенстве

к пределу, получим

, (3.5)

которое является обобщением неравенства треугольника для норм.

Доказательство достаточности. Пусть в нормированном пространстве любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Возьмем фундаментальную последовательность . В силу фундаментальности, найдется такой номер , что

, .

После того, как выбраны , найдем так, чтобы

, .

Продолжая этот процесс, построим подпоследовательность такую, что

, . (3.6)

А теперь составим ряд

.

Этот ряд сходится абсолютно, согласно оценке (3.6), тогда он сходится по условию теоремы. С другой стороны, частичная сумма последнего ряда

равна элементу . Таким образом, сходится подпоследовательность , а вместе с ней и исходная фундаментальная последовательность . Теорема полностью доказана.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 1911. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ   Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия