Ряды в нормированных и банаховых пространствах
Из элементов нормированного пространства составим формальный ряд (3.3) и назовем частичной суммой ряда (3.3) сумму первых элементов, т.е. выражение . Определение 3. Ряд (3.3) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм. При этом элемент называется суммой ряда и обозначается . Определение 4. Если сходится числовой ряд, составленный из норм , (3.4) то ряд (3.3) называется абсолютно сходящимся. В курсе математического анализа для числовых рядов доказывается, что всякий абсолютно сходящийся числовой ряд сходится. Как следует из следующей теоремы, это свойство эквивалентно полноте. Теорема 2. Нормированное пространство является банаховым тогда и только тогда, когда в нем каждый абсолютно сходящийся ряд сходится. Доказательство необходимости. Пусть - банахово пространство и числовой ряд (3.4) сходится. Докажем, что частичные суммы образуют фундаментальную последовательность. При имеем , когда . Таким образом, последовательность частичных сумм фундаментальна и поэтому сходится в силу полноты пространства , т.е. сходится ряд (3.3). Далее, переходя в неравенстве к пределу, получим , (3.5) которое является обобщением неравенства треугольника для норм. Доказательство достаточности. Пусть в нормированном пространстве любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Возьмем фундаментальную последовательность . В силу фундаментальности, найдется такой номер , что , . После того, как выбраны , найдем так, чтобы , . Продолжая этот процесс, построим подпоследовательность такую, что , . (3.6) А теперь составим ряд . Этот ряд сходится абсолютно, согласно оценке (3.6), тогда он сходится по условию теоремы. С другой стороны, частичная сумма последнего ряда равна элементу . Таким образом, сходится подпоследовательность , а вместе с ней и исходная фундаментальная последовательность . Теорема полностью доказана.
|