Ряды в нормированных и банаховых пространствах

Из элементов нормированного пространства составим формальный ряд

(3.3)

и назовем частичной суммой ряда (3.3) сумму первых элементов, т.е. выражение

.

Определение 3. Ряд (3.3) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм. При этом элемент

называется суммой ряда и обозначается

.

Определение 4. Если сходится числовой ряд, составленный из норм

, (3.4)

то ряд (3.3) называется абсолютно сходящимся.

В курсе математического анализа для числовых рядов доказывается, что всякий абсолютно сходящийся числовой ряд сходится.

Как следует из следующей теоремы, это свойство эквивалентно полноте.

Теорема 2. Нормированное пространство является банаховым тогда и только тогда, когда в нем каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство необходимости. Пусть - банахово пространство и числовой ряд (3.4) сходится. Докажем, что частичные суммы образуют фундаментальную последовательность. При имеем

, когда .

Таким образом, последовательность частичных сумм фундаментальна и поэтому сходится в силу полноты пространства , т.е. сходится ряд (3.3). Далее, переходя в неравенстве

к пределу, получим

, (3.5)

которое является обобщением неравенства треугольника для норм.

Доказательство достаточности. Пусть в нормированном пространстве любой абсолютно сходящийся ряд сходится. Возьмем фундаментальную последовательность . В силу фундаментальности, найдется такой номер , что

, .

После того, как выбраны , найдем так, чтобы

, .

Продолжая этот процесс, построим подпоследовательность такую, что

, . (3.6)

А теперь составим ряд

.

Этот ряд сходится абсолютно, согласно оценке (3.6), тогда он сходится по условию теоремы. С другой стороны, частичная сумма последнего ряда

равна элементу . Таким образом, сходится подпоследовательность , а вместе с ней и исходная фундаментальная последовательность . Теорема полностью доказана.