Приближение элементами подпространства

Определение 18. Пусть - подпространство нормированного пространства . Определим расстояние от точки до подпространства по формуле

. (2.13) Имеет место предложение.

Предложение 19. Если , то , если же , то .

Доказательство. Если , то, приняв , получим, что ,т.е.

Пусть теперь . Допустим противное, что . Тогда по определению для любого натурального числа найдется такой элемент , что . Отсюда , когда . Вследствие замкнутости также , но по условию . Полученное противоречие и доказывает предложение.

Число характеризует наилучшую аппроксимацию элемента с помощью элементов подпространства . Имеет место теорема.

Теорема 3. Пусть - конечномерное подпространство нормированного пространства . Для любого существует (возможно, не единственный) такой элемент , что

.

Доказательство. Предполагаем, что , тогда . Пусть - базис на и - разложение по базису. Введем на вторую норму:

.

С этой нормой пространство будем отождествлять с пространством , как и при доказательстве теоремы 2. Вследствие конечномерности обе нормы эквивалентны: т.е. найдутся постоянные такие, что

.

Рассмотрим в функцию . Она непрерывна на , поскольку для любых

.

Покажем, что может достигаться только в шаре

, где .

В самом деле, если , то

.

Далее, шар является в замкнутым и ограниченным множеством, а функция - непрерывна. Поэтому найдется - наилучший элемент приближения элементами из , на котором достигается наименьшее значение . Теорема доказана.

Определение 19. Нормированное пространство называется строго нормированным, если в нем равенство возможно только при , где .

Теорема 4. В строго нормированном пространстве для каждого элемента и каждого подпространства может существовать не более одного наилучшего элемента приближения элементами из .

Доказательство. Допустим, что в строго нормированном пространстве найдутся элемент , подпространство и элементы такие, что

.

Если , то по первой аксиоме нормы . Далее полагая , имеем

.

 

Следовательно

.

Но тогда

.

В силу строгой нормированности существует такое, что . Если , то отсюда

,

что невозможно, поскольку . Следовательно, , но тогда . Теорема доказана.